|
Я составил разностную схему для решения следующей системы уравнений: $$\left\{\begin{aligned}\frac{\partial v}{\partial t}&=-\frac{\partial^2w}{\partial x^2},\\ \frac{\partial w}{\partial t}&=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},\\v(x,0)&=\sin \pi x,w(x,0)=\sin\pi x,\\v(0,t)&=v(1,t)=0,\\w(0,t)&=w(1,t)=0\end{aligned}\right.$$ Реализованная схема является устойчивой и в программе на Mathcad функция выглядит правильно, однако её значения мне кажутся слишком большими. Мне хотелось бы узнать, существует ли аналитическое решение данной задачи и можно ли найти его неким обобщением метода разделения переменных? задан 1 Мар '14 13:45 
MathTrbl |
|
Если переписать уравнения в матричном виде $$\frac{\partial X}{\partial t}=A\frac{\partial ^2X}{\partial x^2},$$ где $$X=\pmatrix{v \\ w}, \, \, A=\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0},$$ то матрица А будет иметь собственные значения $%\pm i$% и собственные векторы $$\pmatrix{1 \\ \pm i}.$$ Тогда понятно, что если перейти к новым неизвестным функциям $$u^{\pm} \equiv v \pm iw,$$ то система распадётся на две независимые скалярные задачи. Решив каждую задачу отдельно и найдя функции $%u^{\pm},$% можно будет получить решение исходной системы. отвечен 30 Май '16 14:25 
splen |
Тогда может быть это подойдет http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde501.pdf . При дифференцировании второго уравнения по времени и подстановке dv/dt из первого уравнения получится то, что в ссылке, только a - комплексной величиной будет.
Это эквивалентные задачи, причем в случае одного уравнения я ее решу спокойно. Меня интересует, как решать системы
Так как задачи эквивалентны, решение одного уравнения дает решение системы.