Я составил разностную схему для решения следующей системы уравнений:

$$\left\{\begin{aligned}\frac{\partial v}{\partial t}&=-\frac{\partial^2w}{\partial x^2},\\ \frac{\partial w}{\partial t}&=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},\\v(x,0)&=\sin \pi x,w(x,0)=\sin\pi x,\\v(0,t)&=v(1,t)=0,\\w(0,t)&=w(1,t)=0\end{aligned}\right.$$

Реализованная схема является устойчивой и в программе на Mathcad функция выглядит правильно, однако её значения мне кажутся слишком большими.

Мне хотелось бы узнать, существует ли аналитическое решение данной задачи и можно ли найти его неким обобщением метода разделения переменных?

задан 1 Мар '14 13:45

изменен 1 Мар '14 13:49

Тогда может быть это подойдет http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde501.pdf . При дифференцировании второго уравнения по времени и подстановке dv/dt из первого уравнения получится то, что в ссылке, только a - комплексной величиной будет.

(1 Мар '14 16:32) wusan

Это эквивалентные задачи, причем в случае одного уравнения я ее решу спокойно. Меня интересует, как решать системы

(1 Мар '14 17:06) MathTrbl

Так как задачи эквивалентны, решение одного уравнения дает решение системы.

(1 Мар '14 17:48) wusan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если переписать уравнения в матричном виде $$\frac{\partial X}{\partial t}=A\frac{\partial ^2X}{\partial x^2},$$ где $$X=\pmatrix{v \\ w}, \, \, A=\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0},$$ то матрица А будет иметь собственные значения $%\pm i$% и собственные векторы $$\pmatrix{1 \\ \pm i}.$$ Тогда понятно, что если перейти к новым неизвестным функциям $$u^{\pm} \equiv v \pm iw,$$ то система распадётся на две независимые скалярные задачи.

Решив каждую задачу отдельно и найдя функции $%u^{\pm},$% можно будет получить решение исходной системы.

ссылка

отвечен 30 Май '16 14:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×987
×296
×49

задан
1 Мар '14 13:45

показан
683 раза

обновлен
30 Май '16 14:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru