Найти все а при которых уравнения равносильны $$2\sin^7x-(1-a)\sin^3x+(2a^3-2a-1)\sin x=0 \\\ 2\sin^6x+\cos2x=1+a-2a^3+a\cos^2x$$

задан 1 Мар '14 18:25

изменен 1 Мар '14 19:02

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
1

Решениями первого уравнения будут все те $%x$%, для которых $%\sin x=0$%. При этом $%\cos2x=1=\cos^2x$%. Следовательно, из второго уравнения получается необходимое условие $%a^3-a=0$%, то есть $%a\in\{-1;0;1\}$%. Каждый из этих случаев рассмотрим отдельно. Во всех случаях будет использоваться обозначение $%t=\sin x$%.

1) $%a=0$%. Первое уравнение имеет вид $%2t^7-t^3-t=0$%, то есть $%t(2t^6-t^2-1)=0$%. Второе уравнение принимает вид $%2t^6+(1-2t^2)=1$%, что равносильно $%t^2(t^4-1)=0$%. Его решениями будут $%t=0$% и $%t=\pm1$%. Очевидно, что они будут также решениями первого уравнения. Но здесь надо проверить, что у первого уравнения нет других решений кроме перечисленных. Если $%t\ne0$%, то $%t^6-1+t^6-t^2=0$%, и можно вынести $%t^2-1$% в качестве общего множителя: $%(t^2-1)(t^4+t^2+1)+(t^2-1)(t^4+t^2)=(t^2-1)(2t^4+2t^2+1)=0$%. Полагая $%y=t^2$%, убеждаемся, что квадратный трёхчлен $%2y^2+2y+1$% имеет отрицательный дискриминант, поэтому других решений уравнение не имеет. Вывод: при $%a=0$% уравнения равносильны.

2) $%a=1$%. Здесь мы получаем $%2t^7-t=0$% в первом уравнении, и $%2t^6+(1-2t^2)=1+1-2+(1-t^2)$% во втором, то есть $%2t^6-t^2=0$%. Легко понять, что эти уравнения не равносильны. Первому из них удовлетворяют $%t=\pm1/\sqrt[6]2$%, что может являться значением функции $%\sin x$%, а второму уравнению удовлетворяют только числа $%t=\pm1/\sqrt[4]2$% (помимо нулевых). Значит, при $%a=1$% уравнения не равносильны.

3) $%a=-1$%. Первое уравнение имеет вид $%2t^7-2t^3-t=0$%; из второго получается $%2t^6+(1-2t^2)=1-1+2-(1-t^2)$%, то есть $%2t^6-3t^2=0$%. С учётом того, что $%|t|\le1$%, решениями уравнения $%t^2(2t^4-3)=0$% может быть лишь $%t=0$%. Оно же является решением первого уравнения. Что касается его возможных ненулевых решений, то надо рассмотреть уравнение $%2t^6-2t^2-1=0$% на отрезке $%t\in[-1;1]$%. Очевидно, что из неравенства $%t^2\le1$% следует $%t^4\le1$%, а также $%t^6\le t^2$%. Поэтому значение функции $%2t^6-2t^2-1$% не превосходит $%-1$%, и равно нулю быть не может. Вывод: при $%a=-1$% уравнения равносильны.

Ответ: $%a\in\{-1;0\}$%.

ссылка

отвечен 1 Мар '14 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из первого уравнения получаем одну серию решений $%sinx=0,$% подставляя во второе уравнение $%sinx=0,$% получим $%2a-2a^3=0\Leftrightarrow a=0,\pm1.$% Далее проверьте эти значение.

ссылка

отвечен 1 Мар '14 19:18

изменен 1 Мар '14 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5

задан
1 Мар '14 18:25

показан
902 раза

обновлен
1 Мар '14 21:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru