$%log_x(2x+4)=log_{x^2-2}(2x+4)$%

Я делал так: в силу равенства выражений в скобках, можно приравнять основания $%x=x^2-2 \Leftrightarrow x_{1,2}=-1;2$%

ОДЗ:

$%2x+4>0 \Leftrightarrow x>-2$%

$%x>0$%

$%x^2-2>0 \Leftrightarrow -\sqrt2>x>\sqrt2$%

$%x\neq1;\pm \sqrt3$% Исключаем корни по ОДЗ и получаем ответ: $%2$% Что я не учел? И правильно ли вообще решал?

задан 1 Мар '14 19:02

изменен 1 Мар '14 19:02

это с физтеха сегодняшнего? у меня другой вариант, но смысл тот же

(1 Мар '14 20:51) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: да, мне друг принес и показал, что сегодня он писал, мне самому стало интересно.

(1 Мар '14 21:03) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
2

Переходить от равенства логарифмов одного и того же числа к равенству оснований нужно более аккуратно. Само по себе это верно не всегда. Например, это могло произойти по причине того, что под знаком логарифма находится 1. Этот случай должен быть учтён. В данном примере такого быть не может, поскольку из $%2x+4=1$% следовало бы, что $%x$% отрицательно. Но в общем случае при переходе к равенству оснований логарифма есть риск потерять решения.

Здесь можно было бы перейти к частному логарифмов по какому-нибудь основанию -- например, по основанию $%e$%. Тогда оказалось бы, что $$\frac{\ln(2x+4)}{\ln x}=\frac{\ln(2x+4)}{\ln(x^2-2)}.$$ Здесь уже становится видно, что либо числители нулевые, и тогда выражение под знаком логарифма равно 1, либо на равные ненулевые числители можно сократить, и тогда получается равенство знаменателей, из которого следует равенство оснований логарифмов.

После того, как выяснено, что решениями могут быть только $%x=-1$% и $%x=2$%, можно ограничиться простой проверкой, безо всякого упоминания ОДЗ, и тем более без попыток решения каких-то неравенств. Ясно, что отрицательные $%x$% не подходят, а при $%x=2$% обе части уравнения равны $%\log_28$%.

ссылка

отвечен 1 Мар '14 19:19

@falcao, а вобщем у меня ошибок не было? (не считая лишних записей и громоздкого решения). возможно ли решать так же (как решал я), если уравнение более сложное? (например, $%log_{2^{2-x}+10}(x^2+36x+12)=log_{2^{x-1}+1}(x^2+36x+12)$% )

(1 Мар '14 20:09) kirill1771

@kirill1771: я считаю, что ошибка всё-таки была, потому что случай равенства единице выражений под знаком логарифма не был рассмотрен. То, что он не подходит -- это выясняется только в результате рассмотрения, а не само по себе.

В более сложном примере действует тот же принцип: либо основания равны, либо выражение под знаком логарифма обращается в единицу. При этом все отдельные значения подлежат проверке (это проще, чем находить ОДЗ в целом).

(1 Мар '14 20:18) falcao

@falcao: я, вроде бы, выразил неравенство оснований еденице $%x≠1;± \sqrt3$%

(1 Мар '14 21:02) kirill1771
1

@kirill1771: я имею в виду случай, когда основания логарифмов разные, но выражение под знаком логарифма равно 1. Например, $%\log_21=\log_31$%, хотя $%2\ne3$%. То есть нет правила, позволяющего делать то, что Вы сделали в начале.

(1 Мар '14 21:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,936

задан
1 Мар '14 19:02

показан
469 раз

обновлен
1 Мар '14 21:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru