4
2

$%x^3y^2=15^{15} \times 20^{20}$% - сразу ясно, что это первое решение, дальше, исходя из того, что решения должны быть натуральными, то степень одного из двух множителей должна делиться на $%2$%, а другого - на $%3$%, далее скорее всего надо исходить из комбинаторных соображений, но у меня ни получалось. Я перебором всех (а скорее всего все перебрать мне не удалось) получил $%19$%. Вопрос в том, как с определить количество сочетаний, если мы уже имеем все пары множителей.

задан 1 Мар '14 20:15

изменен 1 Мар '14 20:57

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
2

В правой части находится число $%2^{40}\cdot3^{15}\cdot5^{35}$%. Нужно по отдельности определить количество решений каждого из трёх уравнений: $%x^3y^2=2^{40}$%, $%x^3y^2=3^{15}$%, $%x^3y^2=5^{35}$%. Полученные три числа надо далее перемножить. Это следует из основной теоремы арифметики: всякое решение $%(x;y)$% однозначно представляется в виде $%x=x_1x_2x_3$% и $%y=y_1y_2y_3$%, где сомножители являются степенями двойки, тройки и пятёрки в порядке следования (возможно, с нулевыми показателями). При этом $%(x_i;y_i)$% будет решением $%i$%-го вспомогательного уравнения ($%i=1,2,3$%).

Количество решений для каждого из трёх уравнений находится однотипным способом. Скажем, для первого из них получается так: $%x=2^m$%, $%y=2^n$%, и надо найти число решений уравнения $%3m+2n=40$% в целых неотрицательных числах. Ясно, что $%m$% чётно, откуда $%m=2k$%, и $%3k+n=20$%. Годится любое $%k$% от $%0$% до $%6$% включительно, а $%n$% при этом выражается однозначно. Итого выходит $%7$% решений.

Для двух других случаев у меня вышло $%3$% и $%11$% решений соответственно. Поэтому всего решений будет $%7\cdot3\cdot11=231$%. Второе уравнение решается аналогично (с учётом делимости на 3), а в третьем получается $%3m+2n=35$%. Здесь надо воспользоваться фактом нечётности $%m$%, представляя его как $%m=2k+1$%, где $%k$% -- целое неотрицательное.

ссылка

отвечен 1 Мар '14 20:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,937

задан
1 Мар '14 20:15

показан
924 раза

обновлен
1 Мар '14 20:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru