Обязательно ли равнобедренным является треугольник, если треугольник с вершинами в основаниях его биссектрис - равнобедренный?

задан 1 Мар '14 22:35

У меня получилось, что не обязательно. Но "приличного" решения пока нет. Я исходил из метрических соотношений и подобрал соответствующие числа. Это всё, правда, надо тщательно проверить, а также придать рассуждению "товарный вид".

(1 Мар '14 23:27) falcao

А есть более лучший способ это решить?

(2 Мар '14 21:26) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: наверняка должен быть, но я пока не придумал ничего лучшего. У меня стратегия была такая: я вычислял квадраты расстояний, приравнивал, сокращал на разность сторон. Получался многочлен от трёх переменных. Там можно считать одну сторону равной 1, и тогда получится симметрический многочлен от a, b. Его можно выразить через переменные a+b, ab и приравнять к нулю. После этого ab выражается. Это даёт квадратное уравнение с параметром k=a+b. Для какого-то интервала оказывается, что если k из него брать, то корни оказываются подходящими. Но это не очень "олимпиадно", конечно.

(2 Мар '14 22:09) falcao

Понятно, у меня есть источник этой задачи с ответом, возможно взглянув Вы сможете объяснить как это решать, если не сложно http://www.kvant.info/k/2006/2006-01.pdf

(2 Мар '14 22:42) SenjuHashirama

страница 41, задача 9

(2 Мар '14 22:43) SenjuHashirama

Ага, я понял, что имеется в виду! То есть "невычислительного" решения никто на данный момент не знает. Тогда и искать его нет смысла. А что касается границ и значений углов, то в том частном случае, который я указал, значение угла было около 103 градусов, то есть в названных пределах.

Я могу привести свои вычисления, и из них соответствующий факт о границах углов должен вытекать.

(2 Мар '14 23:09) falcao

Понятно, тогда, если не сложно, приведите свои вычисления, интересно

(2 Мар '14 23:20) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: попробую завтра написать, поскольку сегодня уже не успеваю. Там довольно длинно получается.

(3 Мар '14 1:58) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пока что привожу без доказательства следующий пример, полученный вычислительным путём. Если взять треугольник со сторонами $%a=\frac35+\frac4{85}\sqrt{34}\approx0.8743977362$%; $%b=\frac35-\frac4{85}\sqrt{34}\approx0.3256022638$%; $%c=1$%, то две из сторон треугольника с вершинами в основаниях биссектрис оказываются равны.

Проверить это можно при помощи вычисления длин отрезков, на которые делит сторону основание биссектрисы (это делается легко), и далее с использованием теоремы косинусов.

Добавление. Итак, попробую изложить свои вычисления. Пусть $%ABC$% -- треугольник, длины сторон которого, а также углы, обозначаем стандартно. Основания биссектрис обозначим через $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$%. Выводим формулу для квадрата длины стороны $%C_1A_1$%. Мы знаем, что $%BA_1=ac/(b+c)$%; $%BC_1=ac/(a+b)$% с учётом теоремы о биссектрисе. Также мы знаем, что $%\cos\beta=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)$%. Отсюда по теореме косинусов $$C_1A_1^2=BA_1^2+BC_1^2-2BA_1\cdot BC_1\cos\beta=\frac{a^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{a^2c^2}{(a+b)^2}-\frac{ac(a^2+c^2-b^2)}{(a+b)(b+c)}.$$ Аналогично, $$C_1B_1^2=\frac{b^2c^2}{(a+c)^2}+\frac{b^2c^2}{(a+b)^2}-\frac{bc(b^2+c^2-a^2)}{(a+b)(a+c)},$$ где роли $%a$% и $%b$% поменялись местами.

Приравнивая между собой полученные две величины, приходим к такому уравнению: $$\frac{(a-b)(a^3+a^2b+a^2c-c^2a+b^2a+abc-c^3-c^2b+b^3+b^2c)abc}{(a+c)^2(a+b)(b+c)^2}=0.$$ Сокращая на $%a-b\ne0$%, имеем уравнение $$a^3+a^2b+a^2c-c^2a+b^2a+abc-c^3-c^2b+b^3+b^2c=0,$$ в котором удобно положить $%c=1$%, не ограничивая общности. Получается симметрический многочлен от переменных $%a$%, $%b$%, который можно выразить через переменные $%k=a+b$% и $%p=ab$%. Получается уравнение $%(a+b)^3-2ab(a+b)+(a+b)^2-(a+b)-ab-1=0$%, то есть $%k^3-2kp+k^2-k-p-1=0$%, из которого $%p$% выражается через $%k$% по формуле $$p=\frac{k^3+k^2-k-1}{2k+1}=\frac{(k+1)^2(k-1)}{2k+1}.$$ В соответствии с теоремой Виета, числа $%a$%, $%b$% являются корнями квадратного уравнения $$z^2-kz+\frac{(k+1)^2(k-1)}{2k+1}=0$$ относительно переменной $%z$% с параметром $%k=a+b$%. Поскольку $%c=1$%, должно выполняться условие $%k > 1$% из неравенства треугольника. Отсюда $%ab > 0$%, то есть корни должны иметь один знак (если они есть). В нашем случае они должны быть различны; находим дискриминант и требуем его положительности: $%D=-(k+2)(2k^2-k-2)/(2k+1) > 0$%. Это означает, что $%2k^2-k-2 < 0$%, и тогда с учётом $%k > 1$% мы приходим к условиям $%1 < k < \frac{1+\sqrt{17}}4$%. При этих условиях квадратное уравнение будет иметь различные положительные корни. Чтобы из этих длин можно было составить треугольник, нам надо ещё учесть условие $%|a-b| < c=1$%, которое равносильно тому, что $%D=(a-b)^2 < 1$%. Оно здесь выполняется автоматически, так как $%D-1=-\frac{(k-1)(2k+3)(k+1)}{2k+1} < 0$%.

Таким образом, мы получили необходимые и достаточные условия существования треугольника с указанными в условии свойствами. Пример, рассмотренный выше, соответствует случаю $%k=6/5$%. Можно ещё записать условие в другом виде -- как ограничение на значения косинуса угла при вершине $%C$%. Поскольку $$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-1}{2ab}=\frac{k^2-1}{2p}-1=\frac{2k+1}{2(k+1)}-1=-\frac1{2(k+1)},$$ обе величины однозначно выражаются друг через друга. Из данного равенства видно, что $%\gamma$% -- тупой угол, и ограничения имеют следующий вид: $%-\frac14 < \cos\gamma < -\frac{5-\sqrt{17}}4$%. В градусной мере угол $%\gamma$% заключён между $%102.6634350...$% и $%104.4775122...$%.

ссылка

отвечен 2 Мар '14 2:54

изменен 3 Мар '14 11:13

@falcao: Треугольник с углами $%\pi/7,2\pi/7$% и $%4\pi/7$% и есть таким треугольником - http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html

(23 Ноя '14 22:53) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: Вы имеете в виду, что это один из треугольников с нужным свойством?

(23 Ноя '14 23:01) falcao

@falcao: Да, это один из треугольников с нужным свойством.

(23 Ноя '14 23:04) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне удалось найти треугольник с целыми длинами сторон, удовлетворяющий условию:

a = 19 214 131

b = 18 800 081

c = 1 481 089

Этот треугольник не является равнобедренным. Но треугольник с вершинами в основаниях биссектрис у него -- равнобедренный.

Условие на стороны (у меня он равнобедренный в другую сторону, чем у Вас):

$$ a^3+a^2b+a^2c-ac^2-ab^2-abc-c^3-c^2b-b^3-b^2c=0 $$

Сие уравнение задает поверхность третьей степени в трехмерном пространстве параметров $%a,b,c$%. Задача состоит в нахождении точки $%(a,b,c)$% с натуральными координатами на этой кривой, для которой были бы выполнены $%a + b > c, a + c > b, b + c > a$%.

Чтобы избавиться от неравенства треугольника, введем новые переменные $%a = y + z, b = x + z, c = x + y.$% По сути $%x,y,z$% являются расстояниями от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности. Тогда уравнение запишется в виде: $$4x^3+9x^2y+9x^2z+5xy^2+6xyz+5xz^2-3y^2z-3yz^2=0$$

У него нам уже достаточно найти решение просто в натуральных числах, без условия неравенства треугольника. Как же их найти? Заметим, что если рассматривать его, как уравнение от $%x$%, то оно имеет степень 3, а если как уравнение от $%y$% или от $%z$%, то имеет степень 2. Это родило идею: разделим на $%x$%, получим уравнение (обозначим $%u=\frac{y}{x}$% и $%v=\frac{z}{x}$%):

$$-3u^2v-3uv^2+5u^2+6uv+5v^2+9u+9v+4=0$$

Это уравнение нам уже достаточно решить в рациональных положительных числах. Как же это сделать? Пусть нам удастся придумать какое-то решение $%\left(u_1, v_1\right)$% в рациональных (не обязательно положительных) числах этого уравнения. При подстановке $%v=v_1$% получается квадратное уравнение относительно $%u$%. Коль скоро один из его корней рационален $%(u_1)$%, то и второй - также рационален, обозначим его через $%u_2$%. Т.е. зная одну рациональную точку $%(u_1,v_1)$% на этой кривой, мы сможем найти вторую, за ней третью и так далее.

С геометрической точки зрения процесс выглядит так: если через рациональную точку на графике кривой провести вертикальную или горизонтальную прямую, то она пересечет кривую еще в одной точке, и ее координаты также будут рациональными.

Таким образом мы можем, имея одну точку, наплодить еще сколько угодно точек (или не сколько угодно? теоретически процесс может замкнуться, но мне это кажется маловероятным - знаменатели все время увеличиваются).

Я начал с точки $%(1,-3)$%, которую угадал из геометрических соображений (она соответствует биссектрисе внешнего угла). Получились последовательно точки, из которых первые 4 имели отрицательную координату, а у пятой повезло, обе координаты оказались положительные:

  1. ( -3, 1 )
  2. ( -3, 11/7 )
  3. ( -249/7, 11/7 )
  4. ( -249/7, 13387/391 )
  5. ( 1895139/1067039, 13387/391 )

Ура, мы нашли решение уравнения в положительных рациональных числах!

Этому решению соответствует треугольник со сторонами

a = 19 214 131

b = 18 800 081

c = 1 481 089

У этого треугольника периметр немаленький: 39 495 301. Мне не удалось построить пример с меньшим периметром, равно как и не удалось выяснить, конечно или бесконечно множество (неподобных) треугольников с целыми коэффициентами, удовлетворяющих условию задачи. Также интересно было бы узнать, все ли из них получаются указанным в решении методом проведения параллельных.

В этом месте хорошо бы вставить чертеж, как на кривой идут вертикальные и горизонтальные линии, иначе мало что понятно, но я не умею. Если вдруг кто-то сделает, заранее благодарен. У меня не получилось сделать нумерацию списка, подскажите, пожалуйста, тоже исправлю.

Об этой задаче я узнал из статьи И.Ф.Шарыгина <a href="http://kvant.mccme.ru/1983/08/vokrug_bissektrisy.htm">"Вокруг биссектрисы"</a> в журнале "Квант" номер 8 за 1983 год.

ссылка

отвечен 7 Ноя '16 17:36

изменен 8 Ноя '16 18:50

@Сергей Маркелов, удовлетворяющий условию - Эммм... в условии говорится "Обязательно ли"... Ваш пример подтверждает или опровергает?...

(7 Ноя '16 17:41) all_exist

@all_exist Пример показывает, что ответ на поставленный вопрос -- отрицательный.

(7 Ноя '16 18:49) Сергей Маркелов

@Сергей Маркелов: я заметил, что b+c из Вашего примера в сумме дают произведение простых от 2 до 23. Интересно, как был найден этот пример, и нет ли более простого?

@all_exist: в формулировке задачи рассматриваются треугольники со специфическим условием (треугольник с вершинами в основаниях биссектрис равнобедренный). Оно как бы здесь находится в центре внимания. Поэтому ясно, что именно оно и имелось в виду (а не условие задачи в целом).

(7 Ноя '16 19:35) falcao
1

@falcao Добавил в исходный текст ответа разъяснение, из каких соображений удалось найти этот треугольник. Извините за плохую верстку (с благодарностью приму помощь).

(8 Ноя '16 18:52) Сергей Маркелов

@Сергей Маркелов: да, это впечатляет весьма. Особенно интересно то, что при помощи этого метода получилось число с таким разложением на простые, о котором я говорил выше.

Я думаю, что общие вопросы о количестве решений и прочем должны как-то следовать из теории эллиптических кривых, и там вроде бы есть разные программы для исследования этих вещей. Здесь было бы хорошо рассмотреть канонический вид, возникающий в результате замен. Для сравнения: уравнение Ферма x^3+y^3=z^3 приводится к виду u^3=v^2+1/108, если я не путаю. Интересно, что получается здесь?

(8 Ноя '16 23:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×27

задан
1 Мар '14 22:35

показан
977 раз

обновлен
8 Ноя '16 23:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru