Доказать, что множество А ⊂ Х является ограниченным тогда и только тогда, когда для любой последовательности Xn ∈ А и любой последовательности λn ∈ С, стремящейся к нулю, последовательность Xnλn стремится к нулю.

задан 1 Мар '14 23:30

Здесь речь идёт о произвольном нормированном пространстве $%X$%?

(1 Мар '14 23:35) falcao

Да, здесь про нормированное пространство. Не понятно немного доказательство обратное.Ведь если мы хотим доказать обратно, то значит дано, что последовательность Xnλn стремится к нулю и надо доказать что множество А является ограниченным.

(2 Мар '14 12:15) Яська

@Яська: это так и есть, но рассуждение проводится "от противного". Я предполагаю, что множество не ограничено, приходя к выводу, что последовательность не стремится к нулю. Получается противоречие с тем, что дано.

Это общее логическое правило (вариант закона контрапозиции): вместо доказательства $%q\Rightarrow p$% устанавливается, что $%\neg{p}\Rightarrow\neg{q}$%. (Обратная импликация всегда логически равносильна противоположной.)

(2 Мар '14 12:34) falcao

а верно, что если Xn->X, то ||Xn||->||X||

(2 Мар '14 13:35) Яська

Если $%x_n\to x$%, то $%||x_n-x||\to0$%. Из неравенства треугольника следует, что модуль разности $%||x_n||-||x||$% не превосходит $%||x_n-x||$%, откуда всё следует.

(2 Мар '14 14:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я попробую ответить на вопрос в той постановке, как я её себе представляю.

Если $%A$% -- ограниченное подмножество в нормированном пространстве $%X$% над $%\mathbb{C}$%, то нормы всех элементов из $%A$% ограничены сверху некоторой константой $%K$%. Тогда, если $%\lambda_n\to0$% при $%n\to\infty$%, то в предположении $%x_n\in A$% имеют место неравенства $%0\le||\lambda_nx_n||=|\lambda_n|\cdot||x_n||\le K|\lambda_n|$%, где правая часть по условию стремится к нулю. Значит, это же верно для $%||\lambda_nx_n||$% по "лемме о двух милиционерах". Тем самым, $%\lambda_nx_n\to0$% в пространстве $%X$%.

Обратно: пусть $%A$% неограниченное. Тогда для любого натурального $%n$% найдётся элемент $%x_n\in A$% с нормой $%||x_n|| > n$%. Положим $%\lambda_n=1/||x_n||$%. Ясно, что $%\lambda_n\to0$%, и при этом $%||\lambda_nx_n||=1$% для всех $%n$%. В частности, последовательность $%\lambda_nx_n$% к нулю не стремится.

ссылка

отвечен 2 Мар '14 0:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×683

задан
1 Мар '14 23:30

показан
691 раз

обновлен
2 Мар '14 14:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru