геометрия - Задачи по геометрии

№ 1) Настя, рисунок примерно такой ( может, можно было бы и получше - ну.. получилось так..=))

Надо доказать, что плоскости диагональных сечений будут перпендикулярны $%(BDD_1) \perp (ACC_1)$%. Тогда дальше будет уже легко ( прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная к их линии пересечения, - будет перпендикулярна всей "второй" плоскости; т.е. достаточно будет в пл-ти $%A_1AC$% провести $%A_1P\perp OO_1$% )
А доказать, что плоскости диаг. сечений перпендикулярны можно по-разному.. Например:
(1)Проведем высоты в боковых гранях: $%A_1M \perp AD$% и $%A_1K\perp AB$% Так как угол $%A_1AD = 60$%, то $%AM = \frac{1}{2}\cdot AA_1 = 5$% ( и так же $%AK = 5$% ), т.е. точки $%M$% и $%K$% - середины сторон квадрата.
(2)Проекции наклонных $%A_1M$% и $%A_1K$% на плоскость основания $%(ABC)$% будут так же перпендикулярны прямым $%AD$% и $%AB$% соответственно. Т.е. проводим в плоскости основания через точки $%M$% и $%K$% перпендикуляры к сторонам $%AD$% и $%AB$% ( это будут проекции наклонных $%A_1M$% и $%A_1K$% на основание ). Пересечение таких проекций и будет основанием высоты призмы. Но очевидно, что такие серединные перпендикуляры к сторонам квадрата будут пересекаться в точке $%O$% - в центре квадрата. То есть $%A_1O$% - высота призмы.
(3) Имеем: $%BD\perp A_1O$% и $%BD\perp AC$%, то есть $%BD$% перпендикулярна всей плоскости $%(A_1AC)$%. И тогда: если одна из плоскостей ( плоскость $%(BDD_1)$%), проходит через прямую ( $%BD$%), перпендикулярную к другой плоскости ( к $%(A_1AC)$% ), то "первая" плоскость будет сама перпендикулярна "второй" ( $%(BDD_1) \perp (ACC_1)$% )
Посчитать - наверное, уже легко.. ( $%AO = 5\cdot \sqrt{2}$%, $%A_1O = \sqrt{100 - 25\cdot 2} = 5\cdot \sqrt{2}$%, $%A_1O\cdot AO = A_1P\cdot O_1O$% )