Найти все значения параметра при которых любой корень уравнения $%3sin^3x+(a-2)(2a-5)cos^3x-2(a-2)^2cosx=0$% является корнем уравнения $%log_5(2ctgx+3)-log_{1/5}(6-ctgx)-\frac{1}{2}log_{\sqrt{5}}(3ctgx+2)=1$% и наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого.

задан 2 Мар '14 13:35

изменен 2 Мар '14 15:14

В самом конце имеется в виду $%\frac12\log_{\sqrt5}$%, я правильно понимаю?

(2 Мар '14 13:38) falcao

да, именно так

(2 Мар '14 13:39) Amalia

мы должны проверить а=1/2 и а=3

(2 Мар '14 15:20) Amalia

@Amalia: да, именно эти два значения получаются, но если их подставить и поделить на $%t-1$% (где $%t$% -- это тангенс), то у меня получились в обоих случаях квадратные уравнения, имеющие корни, то есть тангенс может принимать "посторонние" значения. Если всё верно, то отсюда вроде бы следует, что ни при каком $%a$% равносильности нет.

(2 Мар '14 15:24) falcao

Да у меня так же вышло

(2 Мар '14 15:30) Amalia

а можете проверить правильно ли я уравнение по а упростила? а то тут вроде должны быть решения

(2 Мар '14 19:10) Amalia
1

@Amalia: да, там ошибка в преобразовании. Если её исправить, то получится, что $%a=3$% подходит. Ошибка в том, что после деления на куб косинуса при $%-2(a-2)^2$% должно оказаться $%1/\cos^2x$%, то есть 1 плюс квадрат тангенса.

(2 Мар '14 21:51) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Второе уравнение имеет серию решений, определяемую уравнением $%ctgx=1.$% Подставьте в первое уравнение, найдите и проверьте полученные значения параметра. $$log_5(2ctgx+3)-log_{1/5}(6-ctgx)-\frac{1}{2}log_{\sqrt{5}}(3ctgx+2)=1\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow log_5(2ctgx+3)+log_{5}(6-ctgx)-log_{{5}}(3ctgx+2)=1\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{2}{3}< ctgx<6,\\(2ctgx+3)(6-ctgx)=5(3ctgx+2)\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{2}{3}< ctgx<6,\\ctg^2x+3ctgx-4=0,\end{cases}...$$

ссылка

отвечен 2 Мар '14 14:42

изменен 2 Мар '14 15:02

А можете решение второго уравнения показать?

(2 Мар '14 14:43) Amalia

@Amalia: во втором уравнении все логарифмы приводятся к основанию 5. После этого получается квадратное уравнение относительно котангенса, и оно имеет два корня. Один из них не подходит, и остаётся тот, который указал @Anatoliy.

Анализ первого уравнения, даже с учётом предыдущего соображения, как мне показалось, получается не слишком простой. Но я считал очень "бегло" и не перепроверял.

(2 Мар '14 14:49) falcao

У меня два корня тоже , но я второй откинуть забыла

(2 Мар '14 14:56) Amalia

первое уравнение можно поделить на $%cos^3x$% и получится$%3tg^3x-4(a-2)^2tg^2x+(a-2)(2a-5)=0$%

(2 Мар '14 15:01) Amalia

@Amalia: да, с первым уравнением всё так и есть. Я через котангенс выражал, но это не принципиально. У Вас при квадрате тангенса получился коэффициент $%-4(a-2)^2$%, но в условии задачи фигурирует квадрат числа $%a-1$%. Может, это опечатка? Дело в том, что если там на самом деле $%(a-2)^2$%, то при условии, что (ко)тангенс равен 1, квадратное уравнение имеет "хорошие" корни, и их легче потом исследовать. В другом варианте получалось что-то иррациональное, что меня "смутило".

(2 Мар '14 15:13) falcao

Да, я допустила ошибку когда условие писала. Должны быть хорошие ответы

(2 Мар '14 15:15) Amalia
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5

задан
2 Мар '14 13:35

показан
634 раза

обновлен
2 Мар '14 21:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru