(∏xᵢ)^(1/n) ≤(1/n)∑ xᵢ i=1,..,n

задан 2 Мар '14 16:47

закрыт 3 Окт '14 1:24

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - Alena 3 Окт '14 1:24

1

Есть разные способы доказательства этого неравенства, и они изложены во многих книгах. В частности, это неравенство можно получить как следствие неравенства Иенсена.

Я хочу обратить внимание на один известный и довольно элементарный способ доказательства. Все числа по условию считаются неотрицательными. При $%n=2$% неравенство является следствием того, что $%\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2\ge0$%. Следующий шаг: если неравенство верно для $%n$% чисел, то оно верно и для $%2n$% чисел. Чтобы убедится в этом, надо сгруппировать числа попарно и к каждой паре применить неравенство для двух чисел. Получится $%n$% чисел, и к ним применяется соответствующее неравенство, откуда следует то, что нужно.

Второй шаг: надо доказать, что если неравенство верно для $%n+1$% числа, то оно верно и для $%n$% чисел. Это как бы "индукция в обратную сторону". Этого достаточно, так как от 2 можно "подняться" до любой степени двойки, а затем "спуститься" несколько раз до заданного числа. Скажем, чтобы доказать неравенство для $%n=13$%, доказываем его последовательно для 2, 4, 8, 16, 15, 14 и 13 чисел.

Переход от $%n+1$% к $%n$% осуществляется весьма просто: надо последнее число $%x_{n+1}$% положить равным среднему арифметическому первых $%n$% чисел: $%x_{n+1}=\frac{x_1+\cdots+x_n}n$%. Применяя теперь неравенство для $%n+1$% числа для указанного частного случая, получаем $$\frac{x_1+\cdots+x_n+\frac{x_1+\cdots+x_n}n}{n+1}\ge\sqrt[n+1]{x_1\ldots x_n\cdot\frac{x_1+\cdots+x_n}n}.$$ В левой части находится число, равное $%\frac{x_1+\cdots+x_n}n$%. Возводим обе части в степень $%n+1$% и сокращаем на это число (если все числа равны нулю, то неравенство очевидно). В итоге получается, что $%n$%-я степень среднего арифметического не меньше произведения, и после извлечения корней $%n$%-й степени получается то, что требовалось.

ссылка

отвечен 2 Мар '14 17:11

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×13
×3

задан
2 Мар '14 16:47

показан
1857 раз

обновлен
3 Окт '14 1:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru