равносильные-уравнения - Равносильные уравнения

Положим $%t=\sin x$%. Используя формулы тройного и двойного угла, во втором уравнении после упрощений получаем $%t=0$% или $%t=1/2$%. В первом случае автоматически получается решение первого из уравнений системы за счёт того, что $%\sin3x=3t-4t^3$%. Подставляя $%t=1/2$%, приходим к условию $%a=|a|$%, то есть $%a\ge0$%.

Для случая неотрицательного $%a$% раскрываем модуль, и получается кубическое уравнение относительно $%t$%. Случай $%t=0$% уже учтён, и на этот множитель можно сократить. После этого возникает квадратное уравнение $%4t^2+(4-2a)t+a-3=0$%. Один из его корней равен $%t=1/2$%; второй ввиду теоремы Виета равен $%t=(a-3)/2$%. Нас устраивает случай, когда это число совпадает со значением 0 или 1/2, то есть $%a=3$%, а также $%a=4$%. Помимо этого, нас устраивают те $%a$%, при которых число $%(a-3)/2$% не может быть значением синуса, то есть $%a-3 > 2$% или $%a-3 < -2$%. Во всех остальных случаях первое уравнение будет иметь "лишние" корни по сравнению со вторым.

С учётом ограничения $%a\ge0$%, получается ответ $%a\in[0;1)\cup\{3\}\cup\{4\}\cup(5;+\infty)$%.