0
1

Разложить функцию по f(z)= 1/(4+z) по степеням z-2, Найти R(радиус сходимости ряда)?

задан 2 Мар '14 18:53

изменен 2 Мар '14 21:32

В условии, судя по всему, не хватает скобок. Кроме того, не сказано, что такое $%R$%. В последнем случае, конечно, легко догадаться, что это значит, но условие желательно формулировать в корректном виде.

(2 Мар '14 20:35) falcao

В том виде, в котором написана функция, она имеет вид $%\frac14+z$%, то есть она линейна. Таких примеров обычно не дают. Если Вы имели в виду, что функция равна $%\frac1{4+z}$%, то при записи выражений в строчку надо окружать $%4+z$% круглыми скобками. По арифметическим правилам, выполнение деления предшествует выполнению сложения.

(2 Мар '14 21:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%w=z-2$%. Тогда $%f(z)=\frac1{4+z}=\frac1{6+w}$% нужно разложить по степеням $%w$%. Запишем функцию в виде $%\frac16\cdot\frac1{1+w/6}$%, и далее воспользуемся тем, что $%\frac1{1-u}=1+u+u^2+\cdots+u^n+\cdots$%. То есть тут надо подставить значение $%u=-w/6$%. Получится требуемое разложение (после домножения на коэффициент $%\frac16$%).

Ряд с переменной $%u$% сходится при $%|u| < 1$% и расходится при $%|u| > 1$%, то есть его радиус сходимости равен 1. Относительно $%w=z-2$% получится значение $%R=6$%.

ссылка

отвечен 2 Мар '14 22:05

поподробнее напишите пожалуйста как разложить эту функцию в ряд. и как получили 1/6+w.

(15 Мар '14 18:14) аня1

Как разложить функцию в ряд, у меня написано. В него надо подставить $%-w/6$% вместо $%u$%, и $%n$%-й член станет равен $%(-1)^nw^n/6^n$%. Далее, есть ещё множитель 1/6, и если его учесть, то в знаменателе будет $%6^{n+1}$%. Наконец, вместо $%w$% останется подставить $%z-2$%, и получится сумма вида $%\cdots+(-1)^n(z-2)^n/6^{n+1}+\cdots$%.

Обратите внимание, что я никакой новой информации сейчас не сообщил: описание всех этих действий содержится в моём ответе.

Выражение $%1+w/6$% (а не $%1/6+w$%) получилось в результате тождественного преобразования: $%6+w=6(1+w/6)$%.

(15 Мар '14 18:43) falcao

а как получился R=6 радиус сходимости ряда изходя из w=z-2? непонятно

(15 Мар '14 19:33) аня1

Радиус сходимости ряда из $%u^n$% равен 1. Это значит, что он сходится при $%|u| < 1$% и расходится при $%|u| > 1$%. Поскольку $%w=-6u$%, эти неравенства равносильны $%|w| < 6$% и $%|w| > 6$% соответственно. Тогда из определения радиуса сходимости степенного ряда (повторите его, если забыли), прямо следует, что радиус сходимости ряда с участием $%w$% равен $%6$%.

(15 Мар '14 19:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952

задан
2 Мар '14 18:53

показан
401 раз

обновлен
15 Мар '14 19:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru