Функция $%f(t)$% с областью определения $%D(f) = [1; +\infty)$% удовлетворяет уравнению $%f(\frac{2^y+2^{-y}}{2})=y$% для любого $%y \leq0$%. Для каждого значения $%b \neq0$% найдите все решения неравенства $%f(\frac{3b}{x+b}) \geq-2$%.

задан 3 Мар '14 13:29

изменен 3 Мар '14 14:08

Область определения пустое множество, проверьте правильно написали условие $%D(f)=[1;+1)?$%

(3 Мар '14 13:44) ASailyan

@ASailyan:да, извините, пожалуйста, я ошибся.

(3 Мар '14 13:48) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%t=\frac{2^y+2^{-y}}2$%, где $%y\le0$%. Число $%z=2^y$% при этом удовлетворяет квадратному уравнению $%z^2-2tz+1=0$%, которое при $%t\ge1$% имеет решения $%z_{1,2}=t\pm\sqrt{t^2-1}$%. Ясно, что $%t+\sqrt{t^2-1}\ge1$% -- возрастающая функция, а обратная величина $%t-\sqrt{t^2-1}\le1$% представляет собой убывающую функцию. Поэтому $%2^y=t-\sqrt{t^2-1}$% (ввиду $%2^y\le2^0=1$%), откуда $%f(t)=y=\log_2(t-\sqrt{t^2-1})$%. Эта функция убывает. Ввиду того, что $%-2=f(17/8)$%, неравенство $%f(\frac{3b}{x+b})\ge-2=f(17/8)$% равносильно двойному неравенству $%1\le\frac{3b}{x+b}\le\frac{17}8$% (с учётом области определения функции $%f$%).

Двойное неравенство легко решается методом интервалов, и при $%b > 0$% получается $%x\in[7b/17;2b]$%, а при $%b < 0$% множество решений имеет вид $%x\in[2b;7b/17]$%.

ссылка

отвечен 3 Мар '14 14:12

@falcao:спасибо большое. Как Вы до этого доходите? Мне порой это кажется просто невероятно!

(3 Мар '14 14:24) kirill1771

@kirill1771: мне как раз именно эта задача показалась в "идейном" отношении довольно простой. Фактически, здесь нужно было найти обратную функциональную зависимость, что сразу было ясно. А чаще всего бывают такие задачи (если не брать самые лёгкие), над которыми приходится какое-то время подумать.

(3 Мар '14 16:59) falcao

@falcao:спасибо большое! очень Вас прошу подсказать, на какую тему лучше поискать (чтобы почитать) чтобы получше в этом разобраться.

(3 Мар '14 20:06) kirill1771

@kirill1771: тут достаточно знать определение функции -- включая условия, при которых функция имеет обратную. То есть это на уровне основ понятий. На "грубом" уровне, это задача, когда дано, что $%y=f(x)$% на каком-то множестве, и надо выразить $%x$% через $%y$%. Что, конечно же, возможно не всегда. Поэтому надо повторить такие темы как "функция" и "обратная функция".

(3 Мар '14 20:49) falcao

@falcao: спасибо, сейчас перечитал, вдумался и понял, спасибо еще раз.

(3 Мар '14 21:06) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843
×3,926

задан
3 Мар '14 13:29

показан
577 раз

обновлен
3 Мар '14 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru