Найти все пары чисел a и b при которых неравенство $%|2x^2+ax+b|>9$% не имеет решение на отрезке $%[-1;5]$%

задан 3 Мар '14 15:46

изменен 6 Мар '14 0:14

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим $%f(x)=2x^2+ax+b$%. Требуется выяснить, при каких значениях параметров неравенство $%|f(x)|\le9$% выполнено для всех $%x\in[-1;5]$%.

Необходимыми условиями будут двойные неравенства для $%x=-1$% и $%x=5$%. Из них мы получаем, что $%-9\le 2-a+b\le9$% и $%-9\le50+5a+b\le9$%, то есть $%-11+a\le b\le7+a$% и $%-59-5a\le b\le-41-5a$%. Сравнивая нижние границы с верхними, получаем как следствие, что $%-11+a\le-41-5a$% и $%-59-5a\le7+a$%, откуда $%a\in[-11;-5]$%. Другие значения $%a$% можно не рассматривать.

Графиком функции $%f(x)$% является парабола, ветви которой направлены вверх. Поэтому наибольшее значение, принимаемое этой функцией на отрезке $%x\in[-1;5]$%, достигается на одном из концов. Мы уже учли, что это значение не превосходит $%9$%, указав соответствующие неравенства. Что касается наименьшего значения, то оно достигается в вершине параболы при условии, что она принадлежит рассматриваемому отрезку. Важно заметить, что в нашем случае это так, что избавляет от необходимости рассмотрения разных вариантов. Действительно, абсцисса вершины параболы равна $%x_0=-a/4$%, и она принадлежит отрезку $%[-1;5]$%, так как $%-a$% принадлежит $%[5;11]$%, как было показано выше, и тогда $%a/4\in[5/4;11/4]\subset[-1;5]$%.

Таким образом, неравенство $%f(x)\ge-9$% будет справедливо для всех точек нашего отрезка тогда и только тогда, когда $%f(x_0)=f(-a/4)=b-a^2/8\ge-9$%. Это означает, что $%b\ge a^2/8-9$%.

Сравним теперь это условие с верхними оценками, полученными выше. У нас было $%b\le7+a$% и $%b\le-41-5a$%. Заметим, что равенство $%7+a=-41-5a$% достигается при $%a=-8$%. Обе части равенства при этом равны $%-1$%, и полезно заметить, что $%a^2/8-9$% также равно $%-1$% при $%a=-8$%. Здесь можно нарисовать три графика на координатной плоскости $%Oab$% для $%a\in[-11;-5]$%, чтобы посмотреть, какие из них расположены выше, а какие ниже. Из только что сказанного вытекает, что все три графика: $%b=7+a$%, $%b=-41-5a$% и $%b=a^2/8-9$% проходят через точку $%(a;b)=(-8;-1)$%. Анализ взаимного расположения этих графиков показывает, что только эта точка подходит. Чтобы не ссылаться на графическую информацию, выведем этот факт чисто алгебраически.

Из тех неравенств, которые у нас здесь имеются, следует, что $%a^2/8-9\le b\le7+a$%, а также $%a^2/8-9\le b\le-41-5a$%. Умножая на 8, получаем такие неравенства: $%a^2-8a-128\le0$% и $%a^2+40a+256\le0$%. Зная, что $%a=-8$% является корнем каждого из двух квадратных трёхчленов (это было установлено выше), получаем разложения на множители: $%(a+8)(a-16)\le0$% и $%(a+8)(a+32)\le0$%. Следовательно, $%-8\le a\le16$% и $%-32\le a\le-8$%. Единственное значение, которое удовлетворяет обоим этим условиям, это $%a=-8$%. При этом $%b=-1$%, что было вычислено выше.

Итак, условию задачи удовлетворяет в точности одна пара значений $%(a;b)=(-8;-1)$%.

ссылка

отвечен 3 Мар '14 17:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим равносильную задачу: $$|f(x)=2x^2+ax+b|\le9,\forall x\in[-1;5].$$ $$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} -\frac{a}{4}\in[-1;5], \\ f(-1)\le9,\\f(5)\le9 \\f(-\frac{a}{4})\ge-9\end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered}-\frac{a}{4}<-1, \\f(5)\le9,\\f(-1)\ge-9, \end{gathered} \right. \\\left\{ \begin{gathered}-\frac{a}{4}>5, \\f(-1)\le9,\\f(5)\ge-9, \end{gathered} \right. \end{gathered} \right.$$

ссылка

отвечен 4 Мар '14 14:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

А можно ведь и так решать?

alt text

alt text

ссылка

отвечен 4 Мар '14 17:05

@Amalia: так решать можно, но при этом надо было догадаться подставить значение x=2 и вывести из этого нужную информацию.

Об оформлении: в самом начале сказано об обратной задаче. Такой приём часто применяется, но не в данном случае. Здесь задача, как я уже выше указывал, ровно та же самая. Если неравенство не меняется, а "не имеет" заменяем на "имеет" -- это "обратная" задача. Но если мы меняем само неравенство, то происходит логическая переформулировка. Надо говорить не то, что новое неравенство имеет решение, как у Вас, а то, что ЛЮБОЕ x из [-1;5] будет решением нового неравенства.

(4 Мар '14 18:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530

задан
3 Мар '14 15:46

показан
1407 раз

обновлен
4 Мар '14 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru