Сколько решений может иметь уравнение $%log_ax=a^x$% в зависимости от параметра $%a$%?

задан 4 Мар '14 11:19

изменен 4 Мар '14 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%a > 1$% рассматриваем вспомогательное уравнение $%a^x=x$%. При помощи построения касательных легко выявить "критический" случай, когда это уравнение имеет единственное решение: $%a=e^{1/e}$%. При $%a$%, больших этого значения, графики двух взаимно обратных функций $%y=a^x$% и $%y=\log_ax$% лежат в разных полуплоскостях, разделённых прямой $%y=x$%. Уравнение из условия при этом решений не имеет. При $%a=e^{1/e}$% графики пересекаются в единственной точке, лежащей на этой прямой ($%x=y=e$%).

Проверим, что при $%1 < a < e^{1/e}$% уравнение из условия имеет ровно два решения. Прежде всего заметим, что решений не может быть больше двух, потому что рассматривается равенство выпуклой вниз функции $%a^x$% и выпуклой вверх функции $%\log_ax$%. Разность этих функций имеет положительную вторую производную. Если бы решений имелось больше двух, то функция обращалась бы в ноль в трёх точках. Тогда между парами этих точек нашлись бы нули производной, и между ними, в свою очередь, имелся бы нуль второй производной.

Два решения при этом имеется, так как каждое решение уравнения $%a^x=x$% будет решением уравнения из условия. Рассматривая значения функции $%a^x-x$% в нуле, в точке $%e$%, а также на бесконечности, мы видим, что функция меняет знак с плюса на минус, а затем с минуса на плюс. Значит, два решения найдутся.

Теперь рассмотрим более интересный случай $%0 < a < 1$%. У вспомогательного уравнения $%a^x=x$% имеется в точности одно решение (равенство убывающей и возрастающей функций). Оно же будет решением уравнения из условия. Если имеются другие точки пересечения графиков, с условием $%x\ne y$%, то они симметричны относительно прямой $%y=x$%. Поэтому количество решений здесь нечётно (при условии, что оно конечно). Из тех соображений, что $%2^4=4^2=16$% легко получается такой пример: при $%a=1/16$% решениями уравнения $%a^x=\log_ax$% будут $%x=1/4$% и $%x=1/2$%, то есть решений (с учётом "симметричного") имеется как минимум три.

Проверим при помощи производной такой факт: если $%\frac1a > e^e\approx15,154...$%, то решений будет в точности три; в остальных случаях, то есть при $%1 < \frac1a\le e^e$% решение будет одно.

Перепишем уравнение в виде $%a^{a^x}=x$% и рассмотрим функцию $%f(x)=a^{a^x}-x$% на луче $%x\in(0;+\infty)$%. Нули этой функции будут в точности решениями интересующего нас уравнения. Находим производную: $%f'(x)=a^{a^x}a^x(\ln a)^2-1$%. Чтобы исследовать её поведение, полагаем $%t=a^x > 1$% и рассматриваем функцию $%g(t)=ta^t(\ln a)^2-1$%. Её производная равна $%g'(t)=a^t(\ln a)^2(t\ln a+1)$%, откуда легко находятся её нули и промежутки знакопостоянства. Равенство $%g'(t)=0$% имеет место в точке $%t_0=-\frac1{\ln a}$%; эта точка принадлежит промежутку $%(1;+\infty)$% при $%a > \frac1e$%. Значение функции в этой точке равно $%g(t_0)=-\frac{\ln a}e-1$%. Ясно также, что $%g(t)$% возрастает при $%t < t_0$% и убывает при $%t > t_0$%. Поэтому наибольшее значение достигается функцией $%g$% в точке $%t_0$%, и если оно отрицательно или равно нулю, то функция $%f$% всюду убывает, и обращается в ноль не более одного раза. Это соответствует случаю $%1 < \frac1a\le e^e$%.

При $%\frac1a > e^e$% значение $%g$% в точке $%t_0$% положительно. Это значит, что у функции $%f$% имеется промежуток возрастания. Знак функции $%g$% устроен так: она сначала отрицательна, потом положительна, потом снова отрицательна. Значит, $%f$% сначала убывает, затем возрастает, и далее снова убывает. Мы также знаем, что $%f$% обращается в ноль в точке $%x_0$%, соответствующей решению уравнения $%a^x=x$%, а остальные нули устроены симметрично. Из рассмотрения графика, с учётом эффекта симметрии, видно, что функция $%f$% обращается в ноль ровно в трёх точках, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 5 Мар '14 13:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x_0,$% решение уравнения, тогда обьязательно $%a^{x_0}=log_ax_0=x_0.$% Иначе при а>1,если предположить что $%log_ax_0>x_0,$% то получится $%x_0>a^{x_0}=log_ax_0,$% а если предположить что $%log_ax_0<x_0,$% то получится $%x_0<a^{x_0}=log_ax_0,$% что явное противороречие. Аналогично доказывается и в случае $%0<a<1.$% И вообще уравнения $%а^x=log_ax$% и $%a^x=x$% являются равносильнимы.

Если решить графически, то надо найти абсциси точек пересечения графиков функций $%y=a^x$% и $%y=log_ax.$% Эти функции взамнообратные, графики этих функций симметричны относительно $%y=x$% и находятся в разных полуплоскостях относительно $%y=x.$% следовательно точки пересечения графиков находятся на прямой $%y=x.$% Значит достаточно найти точки пересечения графиков $%y=a^x$% и $%y=x.$% При $%0<а<1,$% функция $%y=a^x$% убывает и пересекает $%y=x,$% в одной точке. Значит график $%y=log_ax$% тоже проходит через эту точку.

А при $%a>1,$% задача уже решена.
И так

  • При $% 1< a< e^{\large\frac{1}{e}}$% 2 точки пересечения

  • При $%0< a<1\ или \ a=e^{ \large\frac{1}{e}}$%, 1 точка

  • При $% a>e^{\large\frac{1}{e}}$%, нету точек пересечения.

alt text

ссылка

отвечен 4 Мар '14 17:55

изменен 4 Мар '14 23:20

Исходя из известного мне ответа к этой задаче, все немножко сложнее.

(4 Мар '14 18:01) Anatoliy

А какой этот ответ и где ошибка в моем решении?

(4 Мар '14 19:25) ASailyan

@ASailyan: из того, что графики симметричны относительно прямой $%y=x$%, следует то, что множество точек пересечения графиков тоже симметрично относительно этой прямой. Но отсюда сразу не следует, что все такие точки лежат на этой прямой. Графики здесь частично могут находиться в одной и в другой полуплоскости.

(4 Мар '14 19:48) falcao

Совершенно верно.

(4 Мар '14 19:55) Anatoliy

Пусть $%x_0,$% решение уравнения, тогда обьязательно $%a^{x_0}=log_ax_0=x_0.$% Иначе при а>1,если предположить что $%log_ax_0>x_0,$% то получится $%x_0>a^{x_0}=log_ax_0,$% а если предположить что $%log_ax_0<x_0,$% то получится $%x_0<a^{x_0}=log_ax_0,$% что явное противороречие. Аналогично доказывается и в случае $%0<a<1.$% И вообще уравнения $%а^x=log_ax$% и $%a^x=x$% являются равносильнимы.

(4 Мар '14 23:17) ASailyan

Последнее Ваше утверждение (о равносильности) требует аккуратного исследования.

(5 Мар '14 11:14) Anatoliy

По-моему, ошибка здесь вызвана не тем, что стали рассматривать графики, а невнимательностью. Взято без обсуждения, что при $%a < 1$% $%y = a^x$% в зоне над $%y=x$% лежит выше прямой $%y=b-x$%, пересекающей прямую $%y=x$% в точке её пересечения с графиком. А ведь совсем не факт, что это так. Кто знает, эти бегуны могут забегáть и по-другому; никакие сведения о графиках функций из школьного курса не позволяют отвергнуть эту возможность.

(24 Сен '17 17:21) abracadabra-...

Пусть $%a = 1/16$%, $%y=x$% (рассмотрим экспоненту). Тогда значение производной есть $%y'=-x\ln{16}$%. Ясно, что $%0 < x < 1$%: при $%x=0$% экспонента лежит выше «главной диагонали», при $%x=1$% — уже ниже. Получается, что $%y' < -1$%. А это значит, что в данном случае экспонента лежит ниже «побочной диагонали» в области, которая нас интересует. И, соответственно, ниже логарифма. Ясно, что при меньших $%x$% ситуация должна выправиться.

(24 Сен '17 17:22) abracadabra-...

@falcao Продолжая мысль о решении @nynko (вещественные корни от Аллочки Шакед): вроде как получается, что средство для избежания невнимательностей — это либо опыт, либо, если его нет или не хватает (как обычно бывает), математический ритуал: всегда выполнять такие-то действия в таких-то условиях. А ритуал возможен не везде. Изначально (на латыни: «принципиально») отказаться от рассуждений о графиках — это и значит перейти в зону применимости ритуала, что полезно. То есть дело не в принципиальной бездоказательности таких рассуждений, а в вопросах «психологических», которые тоже важны. Нет?

(26 Сен '17 17:37) abracadabra-...

@abracadabra-...: под математическим доказательством понимается вывод в некой формальной системе. Ясно, что никто сам этот формальный вывод в символьной форме никогда не приводит, но принято давать нечто, из чего такой вывод мог бы быть в принципе построен. Графики парабол и окружностей позволяют этот переход осуществить, а графики более сложных функций -- уже лишь на основе дополнительных соображений (типа выпуклости или чего-то ещё). Если их добавить (подобно крупе и прочим ингредиентам для "супа из топора" (TM)), то получается вполне "съедобно" :)

(26 Сен '17 18:07) falcao

@falcao А если нужно просто найти ответ на вопрос (с причинами какими-то для уверенности, что ответ правильный)? Что тогда делать? Что плохого в том, чтобы минимизировать не доказательство в формальной системе (о которой, условно говоря, школьник и не слышал никогда), а усилия по нахождению и проверке достоверного ответа? Тогда получается немного другое понятие «доказательности» — то самое, которое, наверное, использовалось до появления формальной логики…

(27 Сен '17 5:41) abracadabra-...

@abracadabra-...: конечно, эвристические соображения используют сплошь и рядом. Но это совсем не то же самое, что математическое рассуждение. Если одно приводит к другому, то и хорошо. Кстати, не надо переоценивать идею рассмотрения графиков в той задаче: она совершенно тривиальна, и ясно, что это самое первое, что может прийти в голову. Но на этом не надо останавливаться, и не надо эту эвристику выдавать за доказательство. Дальше появляется идея выпуклости (также весьма стандартная), и всё становится на места.

(27 Сен '17 9:24) falcao

@falcao Я запутался в сущностях («эвристические соображения», «математическое рассуждение»). Сильно подозреваю, что вы видите что-то такое, что не вижу я, но поскольку передать видение на расстоянии невозможно, то вряд ли есть смысл продолжать. Что до той идеи, мне-то она в голову не пришла — что, что, а простота-то уж точно относительна.

(27 Сен '17 12:19) abracadabra-...

@abracadabra-...: при объяснениях такого рода достаточно апеллировать к простому опыту. Например, такому, который приобретается в ходе школьных уроков геометрии. Там часто надо было доказать что-то "очевидное" -- типа того, что две прямые, перпендикулярные данной, параллельны (в планиметрии). Наглядно это очевидно, и картинка всецело убеждает в правильности, то есть доказывает истину в "классическом" смысле слова. Это и есть уровень "эвристики". А математическое доказательство есть вывод по правилам из аксиом -- это другая "игра", и разница задач очевидна.

(27 Сен '17 16:14) falcao

@falcao Разница задач очевидна. Неочевидно, когда какую задачу надо решать.

(27 Сен '17 16:31) abracadabra-...
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,985

задан
4 Мар '14 11:19

показан
2122 раза

обновлен
27 Сен '17 16:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru