Упростите тригонометрическое уравнение: $%(20cos4φ−40cosφ)(80sin2φ−40sinφ)=(20sin4φ−40sinφ)(80cos2φ−40cosφ)$%

Ответ может быть таким: $%2sin2φ+4sinφ−sin3φ=0$%

задан 4 Мар '14 20:25

изменен 6 Мар '14 0:17

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Полезно различать такие понятия как "выражение" и "уравнение". В данном случае речь идёт об уравнении (равенстве двух выражений).

Прежде всего, нужно произвести сокращения на числа 20 и 40, после чего получается равносильное уравнение $%(\cos4x-2\cos x)(2\sin2x-\sin x)-(\sin4x-2\sin x)(2\cos2x-\cos x)=0$%. (Переменную я заменил на $%x$%, чтобы было проще набирать текст.)

После раскрытия скобок и группировки "родственных" выражений получается $%2(\cos4x\sin2x-\sin4x\cos2x)+(\sin4x\cos x-\cos4x\sin x)+4(\sin x\cos2x-\cos x\sin2x)=0$%. Применяем формулы синуса разности. Получается $%-2\sin2x+\sin3x-4\sin x=0$%, а это как раз то, что было указано (с точностью до знака).

Поскольку дано уравнение, и речь может идти о нахождении его решений, добавлю несколько слов. Прежде всего, можно применить формулы синуса двойного и тройного угла (сменив знак). После этого получается $%4\sin x\cos x-(3\sin x-4\sin^3x)+4\sin x=0$%, то есть $%\sin x(4\cos x+4\sin^2x+1)=0$%. Это приводит к совокупности двух уравнений, первое из которых есть $%\sin x=0$%, и оно решается просто, а во втором уравнении квадрат синуса выражаем через квадрат косинуса, и получается уравнение $%5+4\cos x-4\cos^2x=0$%.

Решая квадратное уравнение относительно $%y=\cos x$%, находим его корни $%y=(1\pm\sqrt6)/2$%. Один из этих корней значением косинуса быть не может, а второй может. Поэтому к серии решений $%x=\pi k$% ($%k\in\mathbb Z$%) добавятся решения уравнения $%\cos x=-\frac{\sqrt6-1}2$%.

ссылка

отвечен 4 Мар '14 22:32

@falcao: спасибо, извините, что перепутал. Можно вопрос не по теме, а Вы такие формулы, как синус тройного угла помните, или все таки в справку заглядываете?

(4 Мар '14 22:44) kirill1771
1

@kirill1771: в "шпаргалки" я никогда не заглядываю в таких случаях. Формулы косинуса и синуса тройного угла встречаются часто, и я помню про них следующее: что синус выражается через синус, а косинус через косинус. И что там числа 3 и 4 стоят в каком-то порядке, и плюс с минусом. Но это довольно легко спутать, поэтому я как бы каждый раз заново вывожу эти формулы (устно) через возведение в куб комплексного числа $%\cos x+i\sin x$%. Так же я поступаю с суммой синусов при переводе в произведение и так далее. А вот косинус и синус суммы -- это то, что надо знать "назубок".

(4 Мар '14 22:50) falcao

@falcao:спасибо еще раз, очень полезная информация.

(4 Мар '14 22:57) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,936
×947

задан
4 Мар '14 20:25

показан
1057 раз

обновлен
4 Мар '14 22:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru