В треугольной пирамиде SАВС из вершины S опустили высоту SH; АВ > BC; AB > AC. Сфера, у которой SH – диаметр, проходит через середины четырех ребер пирамиды и ее радиус равен 3.
а) Найти АВ; угол АСВ;
б) Найти объем пирамиды SABC, при условии, что прямая, проходящая через С и середину SA, касается сферы.

задан 4 Мар '14 21:28

изменен 6 Мар '14 0:11

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Из четырёх ребер хотя бы одно лежит в основании. Сфера имеет с основанием ровно одну общую точку $%H$%. Значит, $%H$% есть середина одной из сторон, и такая сторона всего одна. Поэтому остальные три ребра из четырёх выходят из вершины $%S$%. Если $%X$% -- любая из трёх точек $%A$%, $%B$%, $%C$%, а $%X'$% -- середина $%SX$%, то угол $%SX'H$% прямой. Тогда $%HX'$% является и высотой, и медианой. Отсюда $%HX=HS$%. Следовательно, $%HA=HB=HC=SH=6$%. Тем самым, $%H$% -- центр описанной около $%ABC$% окружности, являющийся серединой одной из сторон. Так бывает только тогда, когда треугольник прямоугольный, и речь идёт о середине гипотенузы. По условию, наибольшей стороной является $%AB$%, то есть это гипотенуза и есть, а угол $%ACB$% прямой. Длина гипотенузы равна $%AB=AH+HB=12$%.

б) Середина $%A'$% ребра $%SA$% принадлежит сфере, поэтому касательная $%CA'$% перпендикулярна $%OA'$%, где $%O$% -- центр сферы (середина $%SH$%). Плоскость, проходящая через $%A'$% перпендикулярно $%OA'$%, проходит, в частности, через высоту $%A'A''$% треугольника $%HA'A$%, и при этом $%A''$% оказывается серединой $%HA$%. Плоскость $%CA'A''$% при этом перпендикулярна $%AB$%, то есть $%CA''$% -- высота треугольника в основании. Ввиду того, что $%HA''=A''A=3$%, основание высоты делит гипотенузу на отрезки длиной $%BA''=9$% и $%A''A=3$%. Поэтому длина высоты равна среднему геометрическому этих величин, то есть $%3\sqrt3$%.

Теперь мы знаем площадь основания, и через него находим объём пирамиды, так как знаем её высоту. Получается $%V=36\sqrt3$%.

ссылка

отвечен 6 Мар '14 11:19

@falcao: У Вас записано, что "Если X - любая из трёх точек A, B, C, а Х’- середина SX, то угол SХ'H прямой." Я не понял почему угол SX’H прямой. Не могли бы Вы подробнее объяснить . Ни как не могу сообразить. Извините мою недалёкость. Заранее благодарен.

(6 Мар '14 12:02) serg55

@falcao: По-моему я понял. Угол SX'H прямой, так как опирается на диаметр сферы и как следствие на диаметр центральной окружности этой сферы. Ну как-то так. Правильно?

(6 Мар '14 12:10) serg55

@serg55: да, конечно. Угол является прямым именно по этой причине, то есть Вы поняли всё правильно.

(6 Мар '14 13:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×527

задан
4 Мар '14 21:28

показан
658 раз

обновлен
6 Мар '14 13:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru