|
Через точку М провести прямую так, чтобы она делила треугольник на 2 равные по площади части (точка М необязательно лежит на медиане), при условии что точка выбрана произвольным образом и лежит:а)внутри треугольника,б)вне треугольника,в)на границе треугольника. задан 4 Мар '14 22:28 
stander
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Начну с пункта в), поскольку там имеется решение с построением "классического" типа. Пусть точка $%M$% лежит на стороне $%BC$% треугольника $%ABC$%. Если она находится в вершине или на середине, то проводим медиану. Пусть $%M$% расположена между $%B$% и серединой $%A_1$% отрезка $%BC$%. Через точку $%A_1$% проводим прямую, параллельную $%AM$%. Она пересекает отрезок $%AC$% в некоторой точке $%K$%. Тогда прямая $%MK$% делит треугольник на две части равной площади. Действительно, если треугольник $%AMK$% заменить на треугольник $%AMA_1$% такой же площади, то четырёхугольник $%ABMK$% превратится в треугольник $%ABA_1$%, где $%AA_1$% -- медиана. а) Здесь построение основано на вычислениях и на построении отрезков заданной длины при помощи циркуля и линейки. Прежде всего, надо заметить, что через точку $%M$% всегда можно провести прямую, которая делит треугольник на две части равной площади, что легко обосновать из соображений непрерывности. Такая прямая будет пересекать две стороны треугольника. Пусть это будут для определённости стороны $%AB$% и $%AC$%. Задача сводится к откладыванию на лучах $%AB$% и $%AC$% отрезков длиной $%x$% и $%y$% соответственно со следующими свойствами: $%xy=bc/2$% (это даёт половину площади треугольника), а также $%xd_1+yd_2=\frac12bc\sin\alpha$%, где $%d_1$%, $%d_2$% -- расстояния от $%M$% до сторон угла. Все величины, участвующие в формулах, нам даны в том смысле, что мы умеем строить отрезки соответствующей длины. У чисел $%xd_1$%, $%yd_2$% нам известны сумма и произведение, а это значит, что они являются корнями квадратного уравнения с известными нам коэффициентами. Корни выражаются по формулам, в которые входит извлечение корня, а это соответствует построению среднего геометрического заданных длин, что осуществляется стандартно. б) Здесь всё то же самое, но вместо суммы $%xd_1+yd_2$% (это сумма удвоенных площадей треугольников) берётся их разность. отвечен 5 Мар '14 22:33 
falcao |
У меня была версия, что это будет прямая, проходящая через точку пересечения медиан
Верна ли идея?
Нет, это не так. Например, линия, параллельная стороне, проходящая через точку пересечения медиан, делит площадь треугольника не пополам, а в отношении 4:5. Для пункта в) задача разобрана в ряде сборников, и решение можно найти в Сети -- оно сравнительно простое. Для других случаев я не знаю способов решения помимо вычислительных. Задача упоминается также в сборнике "Задачи московских математических олимпиад" (Болтянский и Леман), но там подробного решения нет, а есть только краткие указания.
@falcao:А как решить вычислительным методом? Будьте добры, объясните, пожалуйста.
К сожалению, сегодня я уже не успеваю написать. Завтра могу попробовать это сделать.
@falcao: Как у вас найдётся время, помогите , пожалуйста.
Пусть ABC-данный треугольник,точка K-один из концов данного отрезка.Для доказательства проведем AK, медиану AM,отрезок ML||AK.Пусть KL и AM пересекаются в P Докажем,что площадь BALK равна площади BAM,то есть половине АВС: S(BALK)=(BAPK)+S(APL),S(BAM)=S(BAPK)+S(KPM).Достаточно доказать,что S(APL)=S(KPM).Заметим,что AK||ML => перпендикуляры, проведенные из точек M и L на прямую AK,равны.Тогда равны высоты в треугольниках AKL и AKM.У этих треугольников одно и то же основание AK =>их площади равны:S(AKL)=S(AKM). Далее имеем: S(APL)=S(AKL)-S(AKP),S(KPM)=S(AKM)-S(AKP). Правильно ли это для в)?