|
Можно проверить? $$1. \ sin^2x+1/4sin^23x=sinx*sin^23x$$ Вышло $%x=2 \pi k$% $$2. \ log_3(1/3-|3 \pi /2-x|)=sinx$$У меня получилось $%x=3 \pi /2$% И помочь $$3. \ 3arcsin(x^2+x+3/4)=\pi /(tg^2(\pi x/2)+ctg^2(\pi x/2))$$ задан 5 Мар '14 1:11 
Amalia
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
1) Положим $%y=\sin x$% (переменная), $%b=\sin^23x$% (параметр). Уравнение имеет вид $%y^2-by+b/4=0$%. Дискриминант равен $%D=b^2-b=b(b-1)\ge0$%. Ввиду того, что $%b\in[0;1]$% (как квадрат синуса), имеет место либо равенство $%b=0$%, либо $%b=1$%. В противном случае $%b\in(0;1)$%, и знак дискриминанта отрицателен. Таким образом, в этом примере $%D=0$%, откуда $%y=b/2$%. Разберём оба случая. Если $%b=0$%, то $%\sin x=y=b/2=0$%, и $%x=\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. При этом $%\sin3x=0$% автоматически, то есть эта серия решений подходит. Второй случай $%b=1$% приводит к тому, что $%\sin x=y=b/2=1/2$%. Это значит, что $%x=\pi/6+2\pi m$% или $%x=5\pi/6+2\pi m$% (что можно также объединить в одну серию). В обоих случаях $%\sin3x=\sin(\pi/2)=1$%, что согласуется с условием $%b=1$%, то есть эти значения будут решениями уравнения. отвечен 7 Мар '14 13:40 
falcao во втором случае серия $%(-1)^k*\pi /6+2\pi k$%
(7 Мар '14 19:46)
Amalia
Если объединять в одну серию (что вообще-то не обязательно делать), то, согласно формуле, будет не $%2\pi k$%, а $%\pi k$%.
(7 Мар '14 19:56)
falcao
Спасибо, я ошиблась
(7 Мар '14 20:03)
Amalia
|
Первое неверно -- там есть другие решения помимо указанных. Например, $%x=\pi/6$%.
А второе, а третье?
Второй пример совсем простой: там ясно, что $%x=3\pi/2$% подходит, а при всех остальных значениях правая часть оказывается меньше -1, что не равно значению синуса. Третий пример я пока не смотрел.
посмотрите если не сложно, можете объяснить как первый решать?
В третьем примере надо использовать оценки: $%x^2+x+3/4=(x+1/2)^2+1/2\ge1/2$%. Арксинус не меньше $%\pi/6$%, и левая часть не меньше $%\pi/2$%. Правая часть -- наоборот: там в знаменателе находится сумма двух положительных взаимно обратных выражений, и $%z+1/z\ge2$% при этих условиях. Неравенства превращаются в равенства, и $%x=-1/2$% -- единственная возможность. При проверке это число подходит.
@Amalia: у меня есть ощущение, что этот пример где-то уже обсуждался. Посмотрите в предыдущих вопросах. Если не найдёте, можно потом будет обсудить заново. Тут можно применить к правой части неравенство о среднем: $%a^2+b^2/4\ge|ab|$%. Поскольку $%b$% есть значение синуса, то $%b^2=|b|^2\le|b|$% (вот такое неравенство точно где-то уже звучало). Из этих неравенств можно вывести все необходимые следствия.
нет, похожих я не нашла, можете по подробнее написать, я то я не совсем поняла что следует из этого