Найти все значения параметра $%a$%, при котором уравнение $%sin^2x+(a-2)^2sinx+a(a-2)(a-3)=0$% имеет ровно 3 корня на отрезке $%[0;2\pi]$%. .Я решал исходя из периодичности синуса, поэтому решил должен быть один корень и равный нулю дискриминант, и получилось $%a=2$%.

задан 5 Мар '14 16:37

изменен 6 Мар '14 0:12

Deleted's gravatar image


126

@Dragon65: этот вывод должен быть обоснован. На самом деле, он неверен, потому что $%a=0$% здесь точно подходит. Дело в том, что квадратное уравнение может иметь такие корни, которые значениями синуса не являются, то есть к выводу $%D=0$% прийти нельзя.

(5 Мар '14 18:58) falcao

Спасибо за подробный ответ, вроде понял :)

(6 Мар '14 14:26) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
4

Ввиду того, что $%\sin x=\sin(\pi-x)=\sin(3\pi-x)$%, можно сделать вывод, что уравнение имеет такой корень $%x$%, для которого $%\sin x$% равен нулю или $%\pm1$%. В противном случае все корни принадлежат интервалам $%(0;\pi/2)$%, $%(\pi/2;\pi)$%, $%(\pi;3\pi/2)$% и $%(3\pi/2;2\pi)$%. За счёт указанных выше тождеств, между корнями на первом и втором интервале можно установить взаимно-однозначное соответствие, и то же верно насчёт третьего и четвёртого интервала. В этом случае количество корней чётно.

Если имеется корень со свойством $%\sin x=0$%, то $%a(a-2)(a-3)=0$%, и параметр $%a$% может принимать не более трёх значений. Ясно, что $%a=2$% подходит, так как уравнение принимает вид $%\sin^2x=0$% и имеет в точности три корня $%0$%, $%\pi$%, $%2\pi$%. То же верно для $%a=0$%: здесь получается уравнение $%\sin^2x+4\sin x=0$%, равносильное $%\sin x=0$%, так как синус не равен $%-4$%. Значение $%a=3$% не подходит, так как получается, что $%\sin x=0$% или $%\sin x=-1$%, и появляется ещё один корень помимо трёх, указанных выше.

Рассмотрим теперь такую возможность, когда уравнение обладает корнем со свойством $%\sin x=-1$%. Параметр $%a$% при этом удовлетворяет условию $%a(a-2)(a-3)=(a-2)^2-1=(a-1)(a-3)$%. Поскольку случай $%a=3$% нами уже был рассмотрен, можно считать, что $%a-3\ne0$%, сокращая на этот множитель. Получится, что $%a^2-3a+1=0$%, то есть $%a=(3\pm\sqrt5)/2$%. Эти значения нужно проанализировать отдельно.

Поскольку иррациональные значения не очень удобно подставлять в уравнение, воспользуемся тем, что в анализируемом случае $%a(a-3)=a^2-3a=-1$%, поэтому свободный член равен $%2-a$%, и уравнение принимает вид $%y^2+(a-2)^2y+(2-a)=0$%, где $%y=\sin x$%. Одним из корней этого квадратного уравнения является $%y=-1$%, и тогда второй корень по теореме Виета равен $%a-2$%. Если $%a=(3+\sqrt5)/2$%, то $%a-2=(\sqrt5-1)/2$%, что является значением синуса, и на отрезке $%[0;2\pi]$% синус два раза принимает это значение. Это даёт три корня вместе с $%x=3\pi/2$%. То есть такое значение $%a$% нам подходит.

Что касается возможности $%a=(3-\sqrt5)/2$%, то число $%a-2=-(1+\sqrt5)/2$% меньше $%-1$%, и потому не может быть значением синуса. Следовательно, в этом случае уравнение будет иметь всего одно решение вместо трёх.

Осталось рассмотреть случай, когда уравнение обладает решением с условием $%\sin x=1$%. Если подставить это значение в уравнение, то возникает кубическое уравнение $%a^3-4a^2+2a+5=0$%, анализировать корни которого довольно трудно. Но можно заметить, что сумма корней квадратного уравнения (относительно $%\sin x$%) по теореме Виета равна $%-(a-2)^2$%, что в нашем случае меньше нуля. Поэтому, чтобы в сумме с 1 получилось такое число, значение синуса должно быть меньше $%-1$%, а это невозможно.

Таким образом, $%a\in\{0;2;\frac{3+\sqrt5}2\}$%.

ссылка

отвечен 5 Мар '14 19:55

1

Эту задачу на вступительных экзаменах решили менее 10 человек из более полутора тысяч человек. Ей посвящена даже статья в брошюре на 10 страницах. Написана очень интересно, прямо как рассказ. Если кого заинтересует, могу завтра как бы ответить.

(5 Мар '14 21:56) epimkin

@epimkin: да, это не самая простая из задач такого типа. Я писал решение сразу на "чистовик", и мне в какой-то момент казалось, что решение длинновато. Но, наверное, так и должно быть.

Если дадите ссылку на "очерк", было бы интересно посмотреть и сравнить подходы.

(6 Мар '14 1:15) falcao

@falcao , у меня книжный вариант. Сегодня попозже я отвечу здесь

(6 Мар '14 13:58) epimkin

@falcao , напечатал

(6 Мар '14 15:23) epimkin

Два последних- из другой книги

(6 Мар '14 15:32) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
3
ссылка

отвечен 6 Мар '14 15:21

изменен 6 Мар '14 15:31

первые четыре картинки очень мелкие, трудно разобрать)

(6 Мар '14 18:37) Dragon65

@Dragon65 , Вы их сохраните и откройте хорошим просмотрщиком

(6 Мар '14 22:25) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534

задан
5 Мар '14 16:37

показан
2126 раз

обновлен
6 Мар '14 22:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru