Дана  бесконечная  последовательность  чисел    

$%x_1,x_2,x_3, ..., x_k, ...$% ($%k \in {\mathbb N}$%),  в  которой  каждый  член последовательности $%x_k$% является  корнем  уравнения   $%x^2-2\cdot3^k\cdot x+9^k =0$%.

  1. Найдите наибольший порядковый номер $%k$% члена последовательности такой,  что в десятичной записи числа $%x_k$% используется не более семи цифр.

  2. Укажите наименьшее  натуральное  число $%N$%,  среди  делителей  которого  содержится ровно 8 членов данной последовательности. 

  3. Существует  ли  такое  натуральное  число $%n$%, что сумма $%n$% идущих подряд  членов  этой  последовательности  равна  некоторому  члену  этой  последовательности. 

  4. Существует  ли  набор  из 2012 членов  данной  последовательности  таких,  что  никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом. 

Я решал, но мои доводы не основательны, помогите твердо доказать )

задан 5 Мар '14 16:44

изменен 5 Мар '14 18:18

falcao's gravatar image


261k33750

@Dragon65: я подправил условие, сверяясь с оригиналом. Здесь был ряд неточностей.

(5 Мар '14 18:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Квадратное уравнение здесь имеет единственный корень $%x_k=3^k$%.

1) Нужно найти наибольшее $%k$%, для которого $%3^k < 10^7$%. Очевидно, что $%k=14$% подходит. Проверим, что $%3^{15} > 10^7$%. В принципе, это можно сделать прямым вычислением. Но можно поступить и иначе, заметив, что $%(1+1/9)^7 < (1+1/9)^9 < 3$%, откуда всё следует. Неравенство $%(1+1/n)^n < 3$% доказывается в ряде школьных курсов.

2) Каждый член последовательности делится на предыдущие, поэтому речь должна идти о первых 8 делителях. Следовательно, $%N=3^8=6561$%.

3) Здесь подразумевается, что $%n > 1$% -- в противном случае всё очевидно. Рассмотрим сумму $%n$% идущих подряд членов: $%3^m(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1})$%. Она должна быть степенью тройки, но тогда это же верно и для выражения в скобках. Которое степенью тройки быть не может, так как не делится на 3 (случай $%3^0=1$% здесь исключается ввиду $%n > 1$%).

4) Да, существует. Достаточно взять набор степеней тройки с нечётными показателями в достаточном количестве: $%3^1$%, $%3^3$%, $%3^5$%, и так далее. Сумма любого количества чисел из этого набора делится на $%3^{2k+1}$%, но не делится на $%3^{2k+2}$%, где $%3^{2k+1}$% -- наименьшее из слагаемых. У такого числа показатель степени тройки в каноническом разложении нечётен, то есть это не будет точный квадрат.

ссылка

отвечен 5 Мар '14 18:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×948
×58

задан
5 Мар '14 16:44

показан
825 раз

обновлен
5 Мар '14 18:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru