Как посчитать интеграл $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx $$

задан 5 Мар '14 19:23

изменен 5 Мар '14 20:10

falcao's gravatar image


265k63750

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это можно сделать разными способами, и они подробно описаны в книгах. Годится, например, такой способ. Рассмотрим квадрат этого интеграла (то, что интеграл сходящийся, более или менее очевидно), и представим его как $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\cdot\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\,dy.$$ Это будет предел функции при $%R\to+\infty$%, где в пределах интегрирования бесконечности заменены на $%R$%. По теореме Фубини, получается двойной интеграл от функции $%e^{-(x^2+y^2)}$% по квадрату $%[-R;R]^2$%.

Ввиду того, что каждый такой квадрат содержится в круге, и наоборот, предел функции будет тот же, если квадраты заменить на круги с радиусами, стремящимися к бесконечности (в обоих случаях несобственный интеграл равен точной верхней грани как интегралов по квадратам, так и по кругам). А для вычисления интеграла по кругу $%x^2+y^2\le R$% можно перейти к полярным координатам, где якобиан замены равен $%r$%. Тогда получается $$\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rre^{-r^2}\,dr.$$ Интеграл в итоге "расщепляется" на два сомножителя, и при интегрировании по $%\varphi$% получается $%2\pi$%, а интеграл по $%r$% за счёт появления множителя $%r$% вычисляется в элементарных функциях. Первообразная равна $%-e^{-r^2}/2$%, и при переходе к пределу получается $%0-(-1/2)=1/2$%. Это значит, что квадрат вычисляемого интеграла равен $%\pi$%, а сам интеграл равен $%\sqrt{\pi}$%.

ссылка

отвечен 5 Мар '14 20:10

Я, наверно, плохо написала. Там подынтегральное выражение еще надо домножить на x. И тогда я не знаю, как считать

(8 Мар '14 19:56) Яська
1

Если домножить на х, то это совсем легко. Первообразная находится явно, интеграл сходится, а значение равно нулю -- так как функция нечетна.

(8 Мар '14 20:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×243

задан
5 Мар '14 19:23

показан
685 раз

обновлен
8 Мар '14 20:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru