0
1

$$0.7+0.77+0.777+0.7777+0.77777.....+0.777...77$$

задан 5 Мар '14 21:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Да, эту сумму вычислить нетрудно. Достаточно вместо семёрок рассматривать 1 (в конце всё можно снова умножить на 7). Число $%0.111...1$% с участием $%k$% единиц есть $%10^{-k}\frac{999...9}9=10^{-k}\frac{10^k-1}9=\frac19-\frac1910^{-k}$%. Пусть мы суммируем $%n$% слагаемых (то есть по $%k$% от $%1$% до $%n$%). Тогда $%\frac19$% повторяется $%n$% раз и в сумме составит $%\frac{n}9$%. Из этой суммы вычитается число $%\frac19(\frac1{10}+\frac1{10^2}+\cdots+\frac1{10^n})$%, то есть $%\frac1{9\cdot10^n}(1+10+10^2+\cdots+10^{n-1})$%. В скобках находится число, состоящее из $%n$% единиц, то есть $%\frac{10^n-1}9$%. Его надо поделить на $%9\cdot10^n$%, и получится $%\frac{1-10^{-n}}{81}$%.

Таким образом, сумма чисел из условия с единицами вместо семёрок равна $%\frac{n}9-\frac{1-10^{-n}}{81}$%. Умножая на $%7$%, получаем ответ.

ссылка

отвечен 5 Мар '14 22:04

а я сделал по другому разложил каждое слагаемое допустим $$b_{1}=\frac{1}{10}\\b_{2}=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}$$ итд и затем заметил что крайние члены есть геометрическая прогрессия в итоге ответ как у вас

(7 Мар '14 20:14) parol

@parol: я думаю, это практически то же самое. Я оформил решение так, что формула суммы членов геометрической прогрессии в явном виде не используется, но в принципе это одно и то же.

(7 Мар '14 20:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,852
×3,931
×801
×545

задан
5 Мар '14 21:30

показан
755 раз

обновлен
7 Мар '14 20:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru