алгебра - Можно ли вычислить сумму

Да, эту сумму вычислить нетрудно. Достаточно вместо семёрок рассматривать 1 (в конце всё можно снова умножить на 7). Число $%0.111...1$% с участием $%k$% единиц есть $%10^{-k}\frac{999...9}9=10^{-k}\frac{10^k-1}9=\frac19-\frac1910^{-k}$%. Пусть мы суммируем $%n$% слагаемых (то есть по $%k$% от $%1$% до $%n$%). Тогда $%\frac19$% повторяется $%n$% раз и в сумме составит $%\frac{n}9$%. Из этой суммы вычитается число $%\frac19(\frac1{10}+\frac1{10^2}+\cdots+\frac1{10^n})$%, то есть $%\frac1{9\cdot10^n}(1+10+10^2+\cdots+10^{n-1})$%. В скобках находится число, состоящее из $%n$% единиц, то есть $%\frac{10^n-1}9$%. Его надо поделить на $%9\cdot10^n$%, и получится $%\frac{1-10^{-n}}{81}$%.

Таким образом, сумма чисел из условия с единицами вместо семёрок равна $%\frac{n}9-\frac{1-10^{-n}}{81}$%. Умножая на $%7$%, получаем ответ.