$$ 1. \ cos^2(x+1)lg(9-2x-x^2) \ge 1\\\ 2. \ cos(\pi (x+1/2sinx))+(sin^2 \pi x+sin\pi x)^2 \le-1 $$ Я понимаю, что надо решать оценивая левую часть, но как ее оценить?

задан 5 Мар '14 22:06

в первом, первый множитель принадлежит промежутку [0;1], а для второго множителя просто ищем область значений 9-2x-x^2, получится (0;10](с учетом одз) и в силу того что lgx возрастающая получаем что второй множитель принадлежит (-oo;1]. Далее, попробуйте сами

(5 Мар '14 22:18) SenjuHashirama

$%ab$%$%>=$%$%1$%, при этом $%a,b$%$%<=$%$%1$%, отсюда вывод более сильный

(5 Мар '14 22:22) SenjuHashirama

$%cos^2(x+1)=1; \ lg(9-2x-x^2)=1$%

Так?

(5 Мар '14 22:32) Amalia

да, правильно

(5 Мар '14 22:37) SenjuHashirama

в второе как решать?

(5 Мар '14 23:05) Amalia

@Amalia: во втором примере косинус плюс квадрат не превосходят минус единицы. Значит, косинус этой -1 и равен, а квадрат равен нулю. Из этого далее всё постепенно расследуется. Примеры этого типа вообще простые -- надо внимательно смотреть и пытаться извлечь полезную информацию. Как правило, она не так уж глубоко спрятана.

(6 Мар '14 0:56) falcao

$$cos(\pi (x+1/2sinx))+(sin^2 \pi x+sin\pi x)^2=-1$$ как это решать, можете по подробнее написать? а в первом ответ -1?

(6 Мар '14 20:28) Amalia

Вам же написали, первое слагаемое равно -1, а второе 0

(6 Мар '14 20:40) SenjuHashirama

Нет я про второе ничего не писала, можете объяснить почему 0?

(7 Мар '14 12:58) Amalia

@Amalia: если второе слагаемое не равно нулю, то оно положительно. Тогда к значению косинуса прибавляется положительное число, и -1 в сумме никак не может получиться.

В общем виде: если известно, что $%a\ge-1$% и $%b\ge0$%, а сумма $%a+b$% равна $%-1$%, то понятно, что $%a=-1$% и $%b=0$%. Как только одно неравенство становится строгим, то и сумма становится строго больше $%-1$%. Этот приём многократно уже использовался при решении задач.

(7 Мар '14 13:13) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\cos(\pi(x+\frac12\sin x))+(\sin^2\pi x+\sin\pi x)^2\le-1$%

Первое слагаемое в левой части не меньше $%-1$%, а второе не меньше нуля. Следовательно, сумма не меньше $%-1$%. Поскольку она же не больше $%-1$%, согласно условию, то первое слагаемое равно $%-1$%, а второе равно нулю.

Условие $%\sin^2\pi x+\sin\pi x=0$% равносильно тому, что $%\sin\pi x=0$% или $%\sin\pi x=-1$%. В первом случае $%x\in{\mathbb Z}$%, а во втором $%x=-\frac12+k$%, где $%k$% целое.

Теперь рассмотрим первое слагаемое, которое должно быть равно $%-1$%. Это означает, что число $%x+\frac12\sin x$% должно быть целым нечётным. Посмотрим, может ли так быть.

Если $%x$% целое (первый случай из предыдущего абзаца), то целым оказывается число $%\frac12\sin x$%, а это возможно только если $%\sin x=0$%. Однако синус целого числа не может быть равен нулю ввиду иррациональности числа $%\pi$%.

Второй случай: $%x=-\frac12+k$%. При этом $%2x=2k-1$%, а удвоенное число $%2x+\sin x$% должно быть целым. Значит, таковым будет и значение синуса, то есть оно равно $%0$% или $%\pm1$%. Тогда $%x=\frac{\pi}2m$%, где $%m$% целое, откуда $%\pi m=2x=2k-1$%, что снова вступает в противоречие с иррациональностью числа $%\pi$%.

Это доказывает, что решений уравнение не имеет -- в том виде, как оно написано. Вполне возможно, что в условии имеется какая-нибудь опечатка (факт иррациональности $%\pi$% в школе только сообщается, а его доказательство достаточно сложное).

ссылка

отвечен 8 Мар '14 12:53

тут должны быть решения

(16 Мар '14 18:20) Amalia

@Amalia: в том виде, как условие записано, решений всё-таки нет. Я сейчас на всякий случай построил график функции в Maple. Там в мелком масштабе может показаться, что на отрезке $%[0;2\pi]$% есть два решения: одно в районе 3, а другое -- около 5,4. Но если увеличить масштаб, то там видно, что что значения функции, которая должна обращаться в ноль, составляют что-то порядка 0,02 и 0,003, то есть очень близко.

Если у Вас есть какой-то ответ, который не сходится, то проверьте точность воспроизведения условия. К пример, если в первом слагаемом не $%\sin x$%, а $%\sin\pi x$%, то решения есть.

(16 Мар '14 18:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

А во втором номере разве только один ответ?

ссылка

отвечен 7 Мар '14 19:50

Я ответ не выписывал -- просто показал, как надо решать. Там до ответа легко добраться, используя то, что получено. Начать надо со второго слагаемого. Оно равно нулю. Значит $%\sin\pi x$% равен 0 или 1. Дальше всё "раскручивается".

(7 Мар '14 19:54) falcao

$%x=n \\ x=1/2+2k$%

(7 Мар '14 20:04) Amalia

У меня была опечатка: там $%\sin\pi x$% равно $%0$% или $%-1$%. Но этого ещё не достаточно, потому что первое слагаемое должно быть равно $%-1$%. Это происходит, если $%x+\frac12\sin x$% есть нечётное целое. Но так быть здесь не может, поэтому получается, что множество решений пусто.

(7 Мар '14 20:52) falcao

а можете написать по подробнее о методе оценок во втором номере от каких до каких промежутков что принадлежит, тут точно нет решений?

(8 Мар '14 11:09) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×487

задан
5 Мар '14 22:06

показан
1096 раз

обновлен
16 Мар '14 18:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru