$$1. \ (x^2-4x+3)log_{\sqrt{2}/2}(cos^2\pi x+cosx+2sin^2(x/2)) \ge 2 $$ $$2. \ \sqrt{2-|y|}(5sin^2x-6sinxcosx-9cos^2x+3\sqrt[3]{33})=arcsin^2x+arccos^2x-5\pi ^2/4$$

задан 6 Мар '14 21:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Первое наблюдение: $%x^2-4x+3=(x-2)^2-1\ge-1$%. Второе наблюдение: под знаком логарифма находится выражение, которое может быть упрощено при помощи использования тригонометрических тождеств. В соответствии с формулой косинуса двойного угла, $%\cos x=1-2\sin^2\frac{x}2$%. Следовательно, под знаком логарифма находится выражение $%\cos^2\pi x+1$%. Оно принимает значения от $%1$% до $%2$%.

С учётом того, что основание логарифма меньше $%1$%, логарифмическая функция убывает, поэтому логарифм принимает значения от $%-2$% до нуля. Теперь надо проанализировать такую ситуацию: есть два числа, про которые известно, что $%a\ge-1$% и $%-2\le b\le0$%. Известно также, что $%ab\ge2$%; что из этого следует?

Прежде всего, если $%b=0$%, то неравенство неверно (получается $%0\ge2$%). Значит, что $%b < 0$%. Произведение $%ab$% положительно, откуда следует, что $%a < 0$%. Таким образом, $%-1\le a < 0$% и $%-2\le b < 0$%. Удобно перейти к положительным числам $%-a$%, $%-b$% произведение которых то же самое. Для них получается $%0 < -a\le1$%, $%0 < -b\le2$%. Следовательно, произведение не превосходит двух, и оно равно двум только в случае $%-a=1$%, $%b=-2$%.

Итак, $%a=-1$%, $%b=-2$%. Через $%a$% мы обозначили первый сомножитель, равный $%(x-2)^2-1$%. Значит, $%x=2$% -- единственная возможность. При этом выражение под знаком логарифма равно двум, и $%\log_{\sqrt2/2}2=-2$%. Это значит, что $%x=2$% будет решением (единственным).

2) Этот пример технически несколько более сложный. Обратим внимание на то, как связаны между собой арксинус и арккосинус одного и того же числа. Их сумма должна быть равна $%\pi/2$%. Обозначим $%\arcsin x$% через $%t$%. Тогда правая часть имеет вид $%t^2+(\pi/2-t)^2-5\pi^2/4=2t^2-\pi t-\pi^2$%. Найдём множество значений этой функции на отрезке $%t\in[-\pi/2;\pi/2]$%. Критической точкой функции, то есть нулём её производной $%4t-\pi$%, будет точка $%t=\pi/4$%, принадлежащая области определения. Значение функции в этой точке равно $%-9\pi^2/8$%. Значения функции на концах отрезка равны $%0$% и $%-\pi^2$% соответственно.

Вывод: множество значений правой части уравнения равно $%[-9\pi^2/8;0]$%.

Теперь рассмотрим левую часть. Тригонометрическая функция $%5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2x$% выражается через косинус и синус двойного угла. При этом получается $%-(2+7\cos2x+3\sin2x)$%. Стандартный приём позволяет установить, что значение выражения вида $%a\cos t+b\sin t$% не превосходит $%\sqrt{a^2+b^2}$%. Из этих соображений, $%7\cos2x+3\sin2x\le\sqrt{58}$%. Следовательно, $%5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2x$% не меньше, чем $%-(2+\sqrt{58})$%. Прибавляя $%3\sqrt[3]{33}$%, получаем оценку снизу для выражения $%5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2x+3\sqrt[3]{33}$%: это число $%3\sqrt[3]{33}-\sqrt{58}-2$%. Докажем, что оно положительно.

Возводя в куб число $%2+\sqrt{58}$%, имеем $%356+70\sqrt{58}$%. Куб числа $%3\sqrt[3]{33}$% равен $%27\cdot33=891$%. Вычитая $%356$% и деля на $%5$%, приходим к неравенству $%14\sqrt{58} < 107$%, которое надо проверить. Возведение в квадрат даёт $%11368 < 11449$%, то есть получается верное неравенство.

Итак, выражение в левой части представляет собой произведение $%\sqrt{2-|y|}$% на положительное число. В правой части находится число, не превосходящее нуля. Значит, равенство возможно только при условии, что в обеих частях находятся нули. Для левой части это означает $%|y|=2$%, а правая часть обращается в ноль при $%x=-1$%, и только при этом значении. К этому же выводу, кстати, можно было прийти проще, заметив, что максимальное значение модуля арксинуса равно $%\pi/2$%, а максимальное значение арккосинуса равно $%\pi$%.

Таким образом, решений имеется два: $%(x;y)=(-1;\pm2)$%.

ссылка

отвечен 7 Мар '14 4:32

изменен 7 Мар '14 21:09

1

а в первом номере точно 1/2+k и 2 ответы?

(7 Мар '14 20:40) Amalia

@Amalia: я сейчас перечитал -- там было сказано, что при $%b=0$% неравенство верно. Но оно, конечно, не подходит: там ведь неравенство имеет вид $%ab\ge2$%. То есть этой серии не будет, и останется только $%x=2$%. Текст я сейчас откорректирую.

(7 Мар '14 21:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,974

задан
6 Мар '14 21:40

показан
583 раза

обновлен
7 Мар '14 21:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru