$$1.\ log_{1/2}(1+x)+arccos(x+y^2)\le -1$$ $$2. \ \sqrt{5+sin^23x}=sinx+2cosx $$

задан 7 Мар '14 13:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Областью определения арккосинуса является множество $%[-1;1]$%. Следовательно, $%x+y^2\le1$%, и потому $%x\le1$%. Кроме того, арккосинус принимает только неотрицательные значения, поэтому второе слагаемое неотрицательно. Поскольку $%1+x\le2$%, а основание логарифма меньше 1, логарифмическая функция убывает. Следовательно, $%\log_{1/2}(1+x)\ge\log_{1/2}2=-1$%. Таким образом, первое слагаемое не меньше $%-1$%, и сумма оказывается не меньше $%-1$%. По условию, она не больше $%-1$%. Значит, она равна $%-1$%, первое слагаемое равно $%-1$%, а второе равно нулю. Под знаком логарифма должно стоять число $%2$%, то есть $%x=1$%. Следовательно, $%y=0$% (в противном случае под знаком арккосинуса находилось бы число $%x_y^2 > 1$%. Решение $%(x;y)=(1;0)$%, очевидно, подходит.

2) Левая часть не меньше $%\sqrt5$%. Правая, соответственно, не больше (стандартный приём с $%a\cos x+b\sin x$%, что не превосходит $%\sqrt{a^2+b^2}$%). Следовательно, обе части равны $%\sqrt5$%, и $%\sin3x=0$%. Последнее означает, что $%x=\pi k/3$% при целом $%k$%. Косинус и синус $%x$% при этом принимают значения $%(\pm1;0)$% или $%(\pm1/2;\pm\sqrt3/2$% соответственно. Ни в одном из этих случаев функция $%2\cos x+\sin x$% не принимает значение $%\sqrt5$%. Следовательно, множество решений пусто.

ссылка

отвечен 7 Мар '14 14:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843

задан
7 Мар '14 13:19

показан
418 раз

обновлен
7 Мар '14 14:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru