$$9log_{sin2x}(4cos^2x)+8log_{2cosx}sinx=16$$

задан 7 Мар '14 20:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Отметим, что $%\sin x > 0$% и $%\cos x > 0$%. Есть и другие ограничения, но на них пока не будем обращать внимания.

Пользуясь формулой $%\log_ab=\frac{\log_2b}{\log_2a}$% и простейшими свойствами логарифмов, приведём уравнение к виду $$9\frac{2+2u}{1+u+v}+8\frac{v}{1+u}=16,$$ где $%u=\log_2\cos x$% и $%v=\log_2\sin x$%. Разделим уравнение на 2 и применим замену $%t=\frac{v}{1+u}$%. Получится $%\frac9{1+t}+4t=8$%. Квадратное уравнение, которое далее возникает, имеет единственный корень $%t=\frac12$%. Это значит, что $%1+u=2v$%, то есть $%\log_2(2\cos x)=2\log_2\sin x=\log_2\sin^2x$%. Избавляясь от логарифмов, приходим к уравнению $%2\cos x=1-\cos^2x$%, то есть $%z^2+2z-1=0$%, где $%z=\cos x$%. Положительный корень здесь всего один, откуда $%\cos x=\sqrt2-1$%. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как ни $%\sin2x$%, ни $%2\cos x$% при этом не равны единице, а остальные ограничения были учтены.

С учётом того, что $%\sin x > 0$%, этому случаю на единичной окружности соответствует только одна точка из первой четверти, откуда $%x=\arccos(\sqrt2-1)+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 7 Мар '14 20:35

Кому трудно мыслить математически, Вы очень толково раскрываете путь решения. Спасибо! Вы - Предаватель!

(8 Мар '14 18:34) nikolaykruzh...

Не очень понятно от куда берется уравнение с $%t$%

(16 Мар '14 14:22) Amalia

После сокращения на 2 уравнение имеет вид $$9\frac{1+u}{1+u+v}+4\frac{v}{1+u}=8.$$ Если вторую дробь обозначить через $%t$% и рассмотреть первую из дробей в "перевёрнутом" виде, то получится $%\frac{1+u+v}{1+u}=1+\frac{v}{1+u}=1+t$%. Значит, до "перевёртывания" было $%\frac1{1+t}$%, и это число далее умножается на 9. Основой здесь является наблюдение, что две дроби связаны между собой.

(16 Мар '14 14:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$9log_{sin2x}(4cos^2x)+8log_{2cosx}sinx=16\Leftrightarrow\frac{18}{\log_{2cosx}sin2x}+8log_{2cosx}sinx=16\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow\frac{9}{\log_{2cosx}sinx+1}+4log_{2cosx}sinx=8\Leftrightarrow\frac{4log_{2cosx}^2sinx-4log_{2cosx}sinx+1}{log_{2cosx}sinx+1}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow log_{2cosx}sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases}sinx>0,\\cosx>0,\\cosx\ne\frac{1}{2},\\\sqrt{2cosx}=sinx\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\\sinx>0,\\cosx=\sqrt{2}-1,\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x=arccos(\sqrt{2}-1)+2k\pi,k\in Z.$$

ссылка

отвечен 8 Мар '14 14:08

Мне очень нравится ваша метода решений: заставляет подумать, зато потом, после раздумий, весь путь выглядит красиво. Молодец!

(8 Мар '14 18:28) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×256

задан
7 Мар '14 20:02

показан
916 раз

обновлен
16 Мар '14 14:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru