$$cosx+cosy-cos(x+y)=3/2$$

задан 8 Мар '14 11:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Представим сумму косинусов в виде $%2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$%, а косинус суммы выразим через $%t=\cos\frac{x+y}2$%. Получится $%2ta-(2t^2-1)=\frac32$%, где $%a=\cos\frac{x-y}2$%. Это даёт квадратное уравнение относительно $%t$% с параметром: $%t^2-at+\frac14=0$%. Дискриминант равен $%D=a^2-1$%. Поскольку $%a$% является значением косинуса, единственной возможностью (при наличии корней) будет $%D=0$%, то есть $%a^2=1$%. При этом $%t=\frac{a}2$%.

Условие $%a^2=1$% равносильно тому, что $%\cos(x-y)=2a^2-1=1$%, то есть $%x$% и $%y$% отличаются на число, кратное $%2\pi$%. Поэтому вместо рассмотрения двух случаев $%a=1$%, $%a=-1$%, удобнее сделать подстановку в исходное уравнение, поскольку $%\cos y=\cos x$% и $%\cos(x+y)=\cos2x$%. Получится $%2\cos x-\cos2x=\frac32$%, что сводится к квадратному уравнению относительно косинуса, решая которое, получаем $%\cos x=\frac12$%. Это даёт две серии с периодом $%2\pi$%, которые удобно рассматривать отдельно: $%x=\frac{\pi}3+2\pi k$% и $%x=-\frac{\pi}3+2\pi k$%. Для каждой из серий, $%y$% должно отличаться от $%x$% на кратное $%2\pi$%, поэтому в первом случае $%y=\frac{\pi}3+2\pi m$%, а во втором $%y=-\frac{\pi}3+2\pi m$%. Ответ можно записать в таком виде: $%(x;y)=(\frac{\pi}3+2\pi k;\frac{\pi}3+2\pi m)$% или $%(x;y)=(-\frac{\pi}3+2\pi k;-\frac{\pi}3+2\pi m)$%, где $%k,m\in{\mathbb Z}$%. Можно записать и в виде одной серии через $%\pm\frac{\pi}3$%, но при этом нужна будет словесная оговорка, что знаки выбираются не в любой из четырёх комбинаций, а согласованно.

ссылка

отвечен 8 Мар '14 12:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,851

задан
8 Мар '14 11:10

показан
1473 раза

обновлен
8 Мар '14 12:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru