|
Функция $%y=f(t)$% такова, что сумма корней уравнения $%f(sinx)=0$% на отрезке $%[3π/2,2π]$% равна $%33π$%, а сумма корней уравнения $%f(cosx)=0$% на отрезке $%[π,3π/2]$% равна $%23π$%. Какова сумма корней второго уравнения на отрезке $%[π/2;π]$%? задан 8 Мар '14 17:38 
kirill1771 |
|
Поскольку $%\cos(\frac{\pi}2-x)=\sin x$%, то для всякого корня $%x$% первого из уравнений, число $%\frac{\pi}2-x$% будет корнем второго уравнения. Поскольку косинус -- чётная функция, $%x-\frac{\pi}2$% также будет корнем второго уравнения. Заметим, что условия $%x\in[\frac{3\pi}2;2\pi]$% и $%x-\frac{\pi}2\in[\pi;\frac{3\pi}2]$% равносильны. Поэтому, если $%x_1$%, ..., $%x_n$% есть полный список корней первого уравнения, то $%x_1-\frac{\pi}2$%, ..., $%x_n-\frac{\pi}2$% будет полным списком корней второго уравнения. Сумма чисел первого списка превышает сумму чисел второго списка на величину $%n\cdot\frac{\pi}2$%. Мы знаем, что эта разность двух сумм составляет $%33\pi-23\pi$%, откуда $%n=20$%. Теперь заметим, что отрезок $%[\pi;\frac{3\pi}2]$% переходит в отрезок $%[\frac{\pi}2;\pi]$% посредством преобразования $%x\mapsto2\pi-x$%. Косинусы этих двух чисел равны, поэтому если мы обозначим через $%y_1$%, ..., $%y_{20}$% полный список корней второго уравнения, то числа $%2\pi-y_1$%, ..., $%2\pi-y_{20}$% образуют полный список корней третьего уравнения. Их сумма равна $%40\pi-23\pi=17\pi$%. отвечен 8 Мар '14 18:33 
falcao @falcao: спасибо, я все абсолютно так же сделал, только чило корней никак не мог определить (хотя все так просто было).
(8 Мар '14 19:11)
kirill1771
|
Там везде знак деления должен быть, если я правильно понимаю? То есть, $%3\pi/2$%, $%\pi/2$%, и так далее?
@falcao: да, я снова ошибся.