Функция $%y=f(t)$% такова, что сумма корней уравнения $%f(sinx)=0$% на отрезке $%[3π/2,2π]$% равна $%33π$%, а сумма корней уравнения $%f(cosx)=0$% на отрезке $%[π,3π/2]$% равна $%23π$%. Какова сумма корней второго уравнения на отрезке $%[π/2;π]$%?

задан 8 Мар '14 17:38

изменен 11 Мар '14 21:35

Deleted's gravatar image


126

Там везде знак деления должен быть, если я правильно понимаю? То есть, $%3\pi/2$%, $%\pi/2$%, и так далее?

(8 Мар '14 18:04) falcao

@falcao: да, я снова ошибся.

(8 Мар '14 18:21) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
3

Поскольку $%\cos(\frac{\pi}2-x)=\sin x$%, то для всякого корня $%x$% первого из уравнений, число $%\frac{\pi}2-x$% будет корнем второго уравнения. Поскольку косинус -- чётная функция, $%x-\frac{\pi}2$% также будет корнем второго уравнения.

Заметим, что условия $%x\in[\frac{3\pi}2;2\pi]$% и $%x-\frac{\pi}2\in[\pi;\frac{3\pi}2]$% равносильны. Поэтому, если $%x_1$%, ..., $%x_n$% есть полный список корней первого уравнения, то $%x_1-\frac{\pi}2$%, ..., $%x_n-\frac{\pi}2$% будет полным списком корней второго уравнения.

Сумма чисел первого списка превышает сумму чисел второго списка на величину $%n\cdot\frac{\pi}2$%. Мы знаем, что эта разность двух сумм составляет $%33\pi-23\pi$%, откуда $%n=20$%.

Теперь заметим, что отрезок $%[\pi;\frac{3\pi}2]$% переходит в отрезок $%[\frac{\pi}2;\pi]$% посредством преобразования $%x\mapsto2\pi-x$%. Косинусы этих двух чисел равны, поэтому если мы обозначим через $%y_1$%, ..., $%y_{20}$% полный список корней второго уравнения, то числа $%2\pi-y_1$%, ..., $%2\pi-y_{20}$% образуют полный список корней третьего уравнения. Их сумма равна $%40\pi-23\pi=17\pi$%.

ссылка

отвечен 8 Мар '14 18:33

@falcao: спасибо, я все абсолютно так же сделал, только чило корней никак не мог определить (хотя все так просто было).

(8 Мар '14 19:11) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,924
×946

задан
8 Мар '14 17:38

показан
868 раз

обновлен
8 Мар '14 19:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru