f(x) = 1/x - 1/|x| исследовать функцию на непрерывность, определить точки разрыва и их характер.

задан 8 Мар '14 17:51

В точке $%x=0$% функция не определена. Во всех остальных точках она непрерывна.

(8 Мар '14 17:56) falcao

я так и сделала,но преподаватель мне сказал, что я неправильно раскрыла модуль. Как он здесь должен быть раскрыт?

(8 Мар '14 18:15) Саша Шумик

Модуль можно вообще не раскрывать. Поскольку функция не определена в точке $%x=0$%, то о ней можно не говорить. А в любой другой точке функция $%f(x)$% будет непрерывной, что следует из свойств непрерывных функций (в частности, из непрерывности функции $%|x|$%). При желании, модуль можно раскрыть, и тогда получится, что $%f(x)=0$% при $%x > 0$% и $%f(x)=2/x$% при $%x < 0$%, но делать это не обязательно.

(8 Мар '14 18:39) falcao

спасииибо большое!!!!!!!!!!!

(8 Мар '14 18:43) Саша Шумик

В точке $%x=0$% функция имеет разрыв второго рода.

(8 Мар '14 19:21) Anatoliy

да-да, спасибо)

(8 Мар '14 19:22) Саша Шумик

@Anatoliy: по этому вопросу могут быть разночтения, но мне известны примеры учебников, в которых явно оговаривается, что при классификации точек разрыва, функция в соответствующей точке должна быть определена. В этом смысле, для функции f(x)=1/x точка x=0 не подлежит классификации, а если эту функцию как-то доопределить в нуле (например, положив отдельно f(0)=0), то в этой точке будет иметь место разрыв 2-го рода.

(8 Мар '14 22:54) falcao

Но, есть определение непрерывной функции в точке. Одно из условий непрерывности в точке - функция должна быть определена в этой точке. В этом случае точка "окружена" областями, которые составляют ее область определения, поэтому неопределенность функции в этой точке естественным образом определяет ее разрыв в этой точке.

(9 Мар '14 19:57) Anatoliy

@Anatoliy: здесь речь идёт о чисто формальном аспекте. В принципе, можно смотреть на эти вещи чисто геометрически: график гиперболы y=1/x состоит из двух частей, и в этом смысле он "разрывен". Но такое уж сложилось словоупотребление в математике, что она от этого понятия ушла. Под непрерывностью (в точке) стали понимать нечто другое, а про график гиперболы говорится, что он не является связным. Что касается классификации точек разрыва, то я исходил из того понимания, которое изложено в учебнике "Математический анализ" Ильина, Садовничего и Сендова. (продолжение следует)

(9 Мар '14 20:25) falcao

На стр. 162 там было написано: "подразумевается, что функция f(x) определена в той точке, которую мы апробируем на предмет наличия или отсутствия в ней свойства непрерывности."

Сейчас я привёл эту цитату, и заметил, что вслед за ней написано, что при расширенном понимании можно распространить это понятие и на случай, когда функция в точке не определена, но эта точка является предельной. Дело в том, что вчера я специально хотел свериться с учебником насчёт толкования, но не увидел этой фразы. Таким образом, я должен признать, что в этом вопросе @Anatoliy прав.

(9 Мар '14 20:32) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,949

задан
8 Мар '14 17:51

показан
1527 раз

обновлен
9 Мар '14 20:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru