Не получается доказать данное утверждение:

Пусть $%f: M \rightarrow M$% сжимающее отображение. Тогда, $%\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$% такой, что каждая $%\delta$%-псевдо-траектория $%\epsilon$%-отслеживается какой-то из орбит отображения $%f$%.

То есть, $%\exists L \in (0,1)$% такая, что $%d(f(x), f(y)) \leq L \cdot d(x,y)$%. Я обозначил $%\delta$%-псевдо-траекторию как $%(x_n)$% и настоящую траекторию как $%(y_n)$%.

Известно:

$$x_{n+1} = f(x_n) + \delta_n, \ | \delta_n | < \delta$$

$$y_{n+1} = f^n(y_0)$$

$$d(x_{n+1}, y_{n+1}) < \delta$$

Нужно доказать, что:

$$d(x_n, y_n) < \varepsilon$$

Не знаю какой путь выбрать. Я пытался выразить $%x_n$% через $%x_0$%, но это не дало никаких результатов.

Справка:

  1. Называем траекторией (орбитой) точки $%x_0$% последовательность $%\xi = (y_k)$%, где $%y_0 = x_0$%, $%y_1 = f(x_0)$%, $%y_1 = f(y_1) = f(f(x_0))$% и так далее. То есть $%\xi = \{x_0, \ f(x_0), \ f(f(x_0)), \ f(f(f(x_0))), \ \dots \}$%

  2. Пусть $%\delta \in \mathbb{R}$%. Последовательность $%(x_k)^\infty_0$% называется $%\delta$%-псведо-траекторией (псевдо-орбитой), если имеет место неравенство: $$d(f(x_k), x_{k+1}) < \delta$$

  3. Говорится, что функция $%f$% имеет свойство отслеживания, если $%\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$%, такой, что для $%\forall \delta$%-псевдо-траектории $%(x_k)^\infty_0$% можно найти такую траекторию $%(y_k)$% что: $$d(x_k, y_k) < \varepsilon$$

задан 8 Мар '14 18:27

изменен 8 Мар '14 19:27

Желательно привести определения используемых понятий. Что такое сжимающее отображение -- понятно, а вот понятия $%\delta$%-псевдо-траектории, а также $%\varepsilon$%-отслеживания не входят в содержание общеобязательных курсов. Поэтому было бы полезно их пояснить.

(8 Мар '14 18:43) falcao

Добавил справку в тело вопроса, надеюсь теперь понятнее.

(8 Мар '14 19:28) Egor N
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть дана некоторая $%\delta$%-псевдо-траектория $%x_n$% ($%n\ge0$%). Рассмотрим орбиту точки $%x_0$% и сравним её с псевдо-орбитой. Полагаем $%y_0=x_0$%, $%y_{n+1}=f(y_n)$% при всех $%n\ge0$%. Пусть $%d$% -- метрика в пространстве. Тогда $%d(y_0,x_0)=0$%; $%d(y_1,x_1)=d(f(x_0),x_1) < \delta$%. Далее, $%d(y_2,x_2)\le d(y_2,f(x_1))+d(f(x_1),x_2) < d(f(y_1),f(x_1))+\delta\le L\cdot d(y_1,x_1)+\delta < \delta(1+L)$%.

Далее индукцией по $%n$% доказываем, что $%d(y_n,x_n) < \delta(1+L+\cdots+L^{n-1})$% при всех $%n\ge1$%. Шаг индукции при этом таков: $%d(y_{n+1},x_{n+1})\le d(y_{n+1},f(x_n))+d(f(x_n),x_{n+1})$%. Второе слагаемое меньше $%\delta$% по определению $%\delta$%-псевдо-траектории. Первое слагаемое равно $%d(f(y_n),f(x_n))$%, и оно не превосходит $%L\cdot d(y_n,x_n)$% по определению сжимающего отображения. Далее используем предположение индукции и получаем требуемую оценку $%\delta(1+L+\cdots+L^{n})$%.

Для всех значений $%n$% суммы вида $%1+L+\cdots+L^n$% не превосходят суммы бесконечной геометрической прогрессии, равной $%\frac1{1-L}$%. Следовательно, полагая $%\delta=(1-L)\varepsilon$% при заданном положительном $%\varepsilon$%, имеем неравенства $%d(x_n,y_n) < \varepsilon$%, справедливые при всех $%n\ge0$%.

ссылка

отвечен 9 Мар '14 0:18

изменен 10 Мар '14 1:58

Спасибо за ответ, всё предельно понятно. Разве что один момент: последний знак "равно" в выражении с $%d(y_2,x_2)$% должен быть знаком "меньше" - верно?

$%L \cdot d(y_1,x_1) + \delta < \delta(1+L)$%

(10 Мар '14 1:52) Egor N

@Egor N: да, это описка. Спасибо, что обратили внимание. Я сейчас исправлю.

(10 Мар '14 1:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×794

задан
8 Мар '14 18:27

показан
741 раз

обновлен
10 Мар '14 1:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru