пирамида - Стереометрия

Удобно считать, что в основании пирамиды лежит правильный треугольник $%ABD$% со стороной $%a$%, и $%C$% является вершиной. Из того, что $%AC$% перпендикулярна $%BD$%, следует, что плоскость, проведённая через $%AC$% перпендикулярно ребру $%BD$%, будет плоскостью симметрии пирамиды. Треугольник $%AKC$%, где $%K$% -- середина $%BD$%, будет плоским сечением двугранного угла между плоскостями $%ABD$% и $%CBD$%. Поскольку середина $%M$% ребра $%AC$% равноудалена от этих плоскостей, она лежит на биссектрисе угла $%AKC$%, то есть отрезок $%KM$% будет и биссектрисой, и медианой. Следовательно, $%KA=KC$%, откуда вытекает, что равнобедренные треугольники $%ABD$% и $%CBD$% равны (у них общее основание и одинаковая по длине высота). Тем самым, $%BC=CD=a$%.

Угол между $%AC$% и плоскостью $%CBD$% равен $%ACK$%. Рассматривая равнобедренный треугольник $%ACK$%, в котором нам известна боковая сторона $%KC=KA=a\sqrt3/2$% и синус угла при основании, равный $%1/\sqrt3$%, мы заключаем, что высота $%KM=a/2$%, и потому $%AC=2AM=a\sqrt2$%. При этом треугольник $%ACD$% оказывается равнобедренным прямоугольным, то есть угол $%CAD$% равен $%45$% градусам.

Из сказанного следует, что $%BM=MD=\sqrt2/2$%, и тогда равнобедренным прямоугольным будет и треугольник $%BMD$%. Тем самым, $%MD$% есть перпендикулярная проекция отрезка $%BD$% на плоскость $%ACD$%, и угол между ребром $%BD$% и этой плоскостью равен $%BDM$%, то есть $%45$% градусам.