Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Выборка $%x_1, …, x_n$% сделана из распределения Пуассона с параметром $%\lambda$%. Найти распределение выборки $%y_1, …, y_n$%, где $%y_i = F(x_i)$%, а $%F(y) $% - функция распределения Пуассона.

задан 10 Мар '14 0:02

Я спросил это у преподавателя, который серьёзно занимается этой наукой. Он сказал, что полученное распределение равномерным не будет, но будет близко к нему.

(12 Мар '14 11:02) MathTrbl

@MathTrbl, огоо... Спасибо! То есть так делать можно? $%P\{ Y_k < y \} = P\{ \frac{\lambda^{y_i}}{{y_i}!}\cdot e^{-\lambda} < y \} = ... $%

(12 Мар '14 23:18) Ice_Fox

Так нельзя точно, поскольку вы подставили функцию вероятности, а не функцию распределения.

(13 Мар '14 20:53) MathTrbl

@MathTrbl, спасибо. Значит так? $%P\{ Y_k < y \} = P\{\frac{Г(y_i+1, \lambda) }{{y_i}!}\cdot e^{-\lambda} < y \} = ...$%

А как нам тогда выразить Гамма-распределение?

(13 Мар '14 22:09) Ice_Fox

@MathTrbl: чисто ради любопытства хотелось бы спросить. Судя по всему, Вы поняли суть условия задачи. Можно ли тогда дать аналогичную теоретико-вероятностную формулировку? Типа того, что $%\xi$% есть пуассоновская с.в. с параметром $%\lambda$%, и надо найти распределение с.в. $%f(\xi)$%, где $%f$% -- некоторая функция. Что в данном случае является собой $%f$%?

(13 Мар '14 22:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Переформулию задачу в теоретико-вероятностном виде.

Пусть $%\xi \sim Po(\lambda)$% - случайная величина. Рассмотрим функцию $$F(z)=P\{\xi< z\}=\begin{cases}e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\lfloor z\rfloor} \frac{\lambda^k}{k!},&& z >0\\0, && z\leq0\end{cases}$$

Теперь рассмотрим случайную величину $%\eta=F(\xi)$%. Перед нами стоит задача о нахождении её закона распределения.

С другой стороны, эта величина будет дискретной, и мы можем написать функцию вероятности:

$$P\{\eta=F(k)\}=P\{\xi=k\}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},k=0,1,2,\dots$$

ссылка

отвечен 14 Мар '14 8:38

изменен 14 Мар '14 8:38

@MathTrbl: спасибо за пояснения! У меня в качестве одного из предположений была именно такая версия, но я не был уверен, что в качестве $%F$% бралась именно функция распределения, а не какой-то её "заменитель", дающий ту же информацию.

Не совсем понятно, правда, в чём состоит задача. Из условия выписываются явные конкретные формулы, что Вы сейчас и сделали. Как-либо упростить это всё вряд ли возможно. Если имеется выборка, то можно написать соответствующую программу. Так или иначе, мне не очень понятно, в каком виде полагается представлять решение.

(14 Мар '14 13:01) falcao

@falcao, надо ведь, судя по условию найти функцию распределения?..

(14 Мар '14 23:43) Ice_Fox

@Ice_Fox: это не принципиально, потому что случайные величины здесь дискретны. Если вычислить для них закон распределения, то есть понять, с какой вероятностью они принимают заданные значения, то этого достаточно, чтобы представить функцию распределения итоговой величины. Об этом @MathTrbl упомянул в самом конце. Но мне здесь не ясна форма представления ответа. Можно написать программу, которая по заданной выборке будет что-то вычислять, но непонятно, какой от этого "профит".

(14 Мар '14 23:49) falcao

Здесь вообще странно, поскольку функция F зависит от неизвестного параметра a. Я тут ещё подумал, может, в условии было что-то про метод Монте-Карло? Или задача на применение этого метода?

(15 Мар '14 9:03) MathTrbl

@MathTrbl, нет, точно нет... Это должно быть самое начало мат.статистики...

Спасибо большое за ответы и интерес к моей задаче!

(15 Мар '14 16:36) Ice_Fox
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,213
×249

задан
10 Мар '14 0:02

показан
571 раз

обновлен
15 Мар '14 16:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru