У меня есть два интеграла, для которых мне надо доказать расходимость

$$\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{(x\ln^2x)^\tau},\tau<1$$ и $$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(x\ln^2x)^\tau},\tau>1$$

Ни в одном из двух случаев признак сравнения мне не помог, так как этому мешает квадрат логарифма.

Признаки Абеля и Дирихле дают достаточное условие сходимости, что мне не нужно, поскольку мне нужна расходимость.

Критерий Коши будет довольно неудобно применять для данной функции.

Каким ещё образом можно доказать их расходимость?

задан 10 Мар '14 10:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

По-моему, признака сравнения здесь достаточно. Поскольку логарифм растёт медленнее степенной функции, можно утверждать, что $%\ln x < x^c$% для достаточно больших $%x$% при $%c > 0$%. Тогда для первого примера при этих $%x$% получается $$\frac1{(x\ln^2x)^{\tau}} > \frac1{x^{\tau+2c\tau}}.$$ Достаточно выбрать $%c$% таким, чтобы показатель степени при $%x$% не превосходил $%1$%. Например, годится значение $%c=(\tau^{-1}-1)/2$%.

Во втором примере можно применить замену $%y=1/x$%, чтобы получился интеграл до бесконечности. Под знаком интеграла получится функция $$\frac1{y^{2-\tau}\ln^{2\tau}y},$$ и далее используется тот же приём. Показатель степени при $%y$% меньше $%1$%, а логарифм оцениваем сверху подходящей степенной функцией.

ссылка

отвечен 10 Мар '14 11:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,325

задан
10 Мар '14 10:48

показан
654 раза

обновлен
10 Мар '14 11:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru