Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причем так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.

задан 10 Мар '14 10:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим формулу Эйлера для плоских графов: $%V-E+F=1$%, где $%V$% -- число вершин, $%E$% -- число рёбер, $%F$% -- число граней. Положим $%F=F_1+F_2$%, где $%F_1$% -- число пятиугольников, $%F_2$% -- число шестиугольников.

Обходя каждую грань по часовой стрелке, а контур семиугольника -- против часовой стрелки, будем подсчитывать число встречающихся при этом рёбер. Оно равно $%5F_1+6F_2+7$%. С другой стороны, оно же равно $%2E$%, так как всякое ребро лежит на границе двух граней, с учётом "внешней" семиугольной грани.

Далее, из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер, что следует из выпуклости многоугольников разбиения, а также из того факта, что из каждой вершины семиугольника исходит как минимум ещё одно дополнительное ребро -- помимо двух, принадлежащих контуру. Отсюда следует неравенство $%3V\le2E$%. Из формулы Эйлера получаем, что $%1=V-E+F\le F-E/3$%. Тогда $%6+2E\le6F$%, то есть $%6+5F_1+6F_2+7\le6F_1+6F_2$%. Упрощая, получаем $%F_1\ge13$%.

ссылка

отвечен 10 Мар '14 12:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×599

задан
10 Мар '14 10:49

показан
1307 раз

обновлен
10 Мар '14 12:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru