Здравствуйте!

Скажите, пожалуйста, как решить данное тригонометрическое уравнение: $$tg8x-tg6x=\dfrac {1}{\sin 4x}$$ При условиие, что $$x\in \left[ -\dfrac {\pi }{4};\dfrac {3\pi }{4}\right] $$

Спасибо.

задан 10 Мар '14 13:29

изменен 12 Мар '14 21:48

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Приведём к общему знаменателю выражение в левой части, записывая тангенсы как отношения синусов к косинусам. В числителе при этом получится выражение $%\sin8x\cos6x-\cos8x\sin6x=\sin(8x-6x)=\sin2x$%. Далее, применяя правило пропорции, приходим к равенству $%\sin2x\sin4x=\cos8x\cos6x$%. То число, которое находится в обеих частях равенства, должно быть отлично от нуля -- это в точности учитывает ОДЗ уравнения. Удобно следить за левой частью, заметив, что если $%\sin2x=0$%, то и $%\sin4x=0$%. Поэтому единственным ограничением, которое мы будем учитывать, служит неравенство $%\sin4x\ne0$%.

Удваивая обе части полученного нами уравнения и выражая удвоенные произведения через суммы/разности косинусов, приходим к условию $%\cos2x-\cos6x=\cos2x+\cos14x$%, то есть $%\cos14x+\cos6x=0$%. Выражая сумму через произведение, имеем уравнение $%\cos10x\cos4x=0$%. Таким образом, надо решить каждое из уравнений $%\cos10x=0$% и $%\cos4x=0$% на рассматриваемом в условии отрезке, исключая те решения, для которых $%\sin4x=0$%. Заметим, что для второго из уравнений ничего исключать не придётся, поскольку косинус и синус $%4x$% не могут одновременно обратиться в ноль. Для этого случая получается $%4x=\frac{\pi}2+\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Ввиду того, что $%4x\in[-\pi;3\pi]$%, получается двойное неравенство, которое мы сокращаем на $%\pi$%. А именно, $%-1\le\frac12+k\le3$%, где нам подходят 4 значения: $%k\in\{-1;0;1;2\}$%. Через них сразу выражается $%x$%, что даёт 4 решения уравнения из условия.

Теперь решаем уравнение $%\cos10x=0$%, где $%10x=\frac{\pi}2+\pi m$% для целых $%m$%. Прежде всего, учтём ограничение. Поскольку $%x=\frac{(2m+1)\pi}{20}$%, получается $%4x=\frac{(2m+1)\pi}5$%, и чтобы синус этого числа был отличен от нуля, число $%2m+1$% не должно делиться нацело на $%5$%. Далее, учитывая условие $%4x\in[-\pi;3\pi]$%, приходим к неравенствам $%-1\le\frac{2m+1}5\le3$%, что упрощается до $%-3\le m\le7$%. Этому неравенству удовлетворяет 11 целых чисел, однако значения $%m=-3$%, $%m=2$%, $%m=7$% нам не подходят ввиду того, что для них $%2m+1$% кратно $%5$%. Остальные $%8$% значений подходят, и соответствующие им $%x$% легко выражаются.

Итого получается $%12$% решений, причём все они оказываются попарно различными. Действительно, решения одной из серий имеют вид $%x=\frac{(2k+1)\pi}8$%, где $%k\in\{-1;0;1;2\}$%. Решения второй из серий имеют вид $%x=\frac{(2m+1)\pi}{20}$%, где $%m\in\{-2;-1;0;1;3;4;5;6\}$%. Совпадений здесь не происходит, так как в противном случае из равенства $%\frac{(2k+1)\pi}8=\frac{(2m+1)\pi}{20}$% следовало бы $%5(2k+1)=2(2m+1)$%. Но так не бывает, поскольку нечётное число не может быть равно чётному.

ссылка

отвечен 10 Мар '14 14:31

@falcao, скажите, пожалуйста - что такое правило пропорций о котором говориться в 3 предложении?

(11 Мар '14 15:55) ВладиславМСК

А все, понял. Просто немного неявный для меня переход. Спасибо.

(11 Мар '14 15:58) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: это переход от уравнения $$\frac{a}b=\frac{c}d$$ к следствию $%ad=bc$%. Вещь достаточно очевидная и часто используемая. Это самый простой способ избавиться от дробей.

(11 Мар '14 18:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×931

задан
10 Мар '14 13:29

показан
795 раз

обновлен
11 Мар '14 18:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru