Система уравнений

$$y\sin x=\log_2|y\sin x|-\log_2|1+3y|$$ $$(6y^2+2y)(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}-4)=y^2-2y+1$$ Пусть $%t=\sin^2x$%. Тогда $$k=4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}-4=4^t+4^{1-t}-4$$ $$t\in[0;1]\Rightarrow k\in[0;1]$$ Для решения уравнения $%k(6y^2+2y)=y^2-2y+1$% посмотрим графики левой и правой части (можно было бы решать неравенства, но так легче):

Из рисунка видно, что либо $%y=-1, k=1$%, либо $%y\ge0.2$%. Рассмотрим первый случай: $$k=1\Rightarrow\sin^2x=1\Rightarrow\sin x=\pm1\Rightarrow y\sin x=\mp1$$ Подставим в первое уравнение:
$%-1=\log_2\left|-1\over-2\right|$% - подходит;
$%1=\log_2\left|1\over-2\right|$% - не подходит.
Получаем набор решений: $%x={\pi\over2}+2\pi n, y=-1$%.
Рассмотрим второй случай: $$log_2|1+3y|\ge\log_2(1.6)$$ $$log_2|y\sin x|\le0$$ Следовательно, $%y\sin x\le-\log_2(1.6)$%. Следовательно, $%y\ge\log_2(1.6)$%. $%\log_2(1.6)\approx0.678$%. Аналогично: $$log_2|1+3y|\ge\log_2(3.034)\gt1\Rightarrow y\sin x\lt-1$$ Получается, решений при $%y\gt0.2$% не существует.

Ответ: $%x={\pi\over2}+2\pi n, y=-1$%.