$$ysinx=log_{2}|ysinx/(1+3y)| \\\ (6y^2+2y)(4^{sin^2x}+4^{cos^2x})=25y^2+6y+1 \\\ |y|\le1$$

задан 10 Мар '14 21:01

изменен 10 Мар '14 21:59

Подправьте, пожалуйста, скобки в первом уравнении.

(10 Мар '14 21:28) falcao

исправила.

(10 Мар '14 21:59) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$y\sin x=\log_2|y\sin x|-\log_2|1+3y|$$ $$(6y^2+2y)(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}-4)=y^2-2y+1$$ Пусть $%t=\sin^2x$%. Тогда $$k=4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}-4=4^t+4^{1-t}-4$$ $$t\in[0;1]\Rightarrow k\in[0;1]$$ Для решения уравнения $%k(6y^2+2y)=y^2-2y+1$% посмотрим графики левой и правой части (можно было бы решать неравенства, но так легче):
График
Из рисунка видно, что либо $%y=-1, k=1$%, либо $%y\ge0.2$%. Рассмотрим первый случай: $$k=1\Rightarrow\sin^2x=1\Rightarrow\sin x=\pm1\Rightarrow y\sin x=\mp1$$ Подставим в первое уравнение:
$%-1=\log_2\left|-1\over-2\right|$% - подходит;
$%1=\log_2\left|1\over-2\right|$% - не подходит.
Получаем набор решений: $%x={\pi\over2}+2\pi n, y=-1$%.
Рассмотрим второй случай: $$log_2|1+3y|\ge\log_2(1.6)$$ $$log_2|y\sin x|\le0$$ Следовательно, $%y\sin x\le-\log_2(1.6)$%. Следовательно, $%y\ge\log_2(1.6)$%. $%\log_2(1.6)\approx0.678$%. Аналогично: $$log_2|1+3y|\ge\log_2(3.034)\gt1\Rightarrow y\sin x\lt-1$$ Получается, решений при $%y\gt0.2$% не существует.

Ответ: $%x={\pi\over2}+2\pi n, y=-1$%.

ссылка

отвечен 10 Мар '14 22:39

а как вторую строчку вашего объяснения понимать?

(11 Мар '14 14:41) Amalia

@Amalia: это преобразованное второе уравнение. Из левой и правой части надо вычесть $%4(6y^2+2y)$%, и получится то, что написал @chameleon.

(11 Мар '14 18:01) falcao

а какие неравенства можно было бы решать не строя графики

(12 Мар '14 15:38) Amalia

@Amalia: если следовать идеям изложенного здесь решения, то можно рассмотреть функцию $%\frac{(y-1)^2}{2y(3y+1)}$% и посмотреть, при каких $%y\in[-1;1]$% её значения окажутся в нужных пределах (то есть от 0 до 1).

(12 Мар '14 18:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня есть пару вопросов по оцениванию выражения. Пусть дано выражение: $$y\sin (x) = {\log _2}\left| {y\sin (x)} \right| - {\log _2}\left| {1 + 3y} \right|$$ Нам известно что $$\frac{1}{5} < y \le 1 \to \frac{3}{5} < 3y \le 3 \to 1.6 < 3y +1 \le 4$$ Приступим к оцениванию правой части: $$0.2 < y \le 1;\,\,\, - 1 \le \sin (x) \le 1 \to - 1 \le y\sin (x) \le 1 \to {\log _2}\left| {y\sin (x)} \right| \le 0$$ $$1.6 < 3y + 1 \le 4 \to {\log _2}1.6 < {\log _2}\left| {1 + 3y} \right| \le {\log _2}4 = 2$$ Отсюда следует что $${\log _2}\left| {y\sin (x)} \right| - {\log _2}\left| {1 + 3y} \right| \le - {\log _2}1.6$$ Далее согласен что $$y\sin (x) \le - {\log _2}1.6 \to y\sin (x) \ge {\log _2}1.6 \to y \ge {\log _2}1.6$$ Но ведь тогда получается что на отрезке $${\log _2}1.6 \le y \le 1$$ может иметь решение. Я не совсем понимаю как вы пришли к выводу что $$y\sin (x) < - 1$$

Разьясните поподробней вот это шаг: $${\log _2}\left| {y\sin (x)} \right| \ge {\log _2}3.034 > 1 \to y\sin x < - 1$$

ссылка

отвечен 15 Май '14 5:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×116

задан
10 Мар '14 21:01

показан
825 раз

обновлен
15 Май '14 5:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru