Теория чисел как найти две последние цифры

Здесь нужно несколько раз использовать теорему Эйлера. Требуется найти значение числа из условия по модулю $%100$%. Эта задача сводится к нахождению значения показателя степени, то есть $%9^{9^9}$%, по модулю $%\varphi(100)=40$%. Что, в свою очередь, сводится к нахождению $%9^9$% по модулю $%\varphi(40)=16$%, и $%9$% по модулю $%\varphi(16)=8$%, что равно $%1$%.

Таким образом, $%9\equiv1\pmod8$%, откуда $%9^9\equiv9^1\pmod{16}$%. Далее, $%9^{9^9}\equiv9^9\pmod{40}$%, что достаточно просто вычисляется с учётом того, что $%9^2\equiv1\pmod{40}$%, то есть получается значение $%9$%.

Отсюда следует, что число из условия сравнимо с $%7^9$% по модулю $%100$%. Последовательно возводя в квадрат, имеем $%7^2\equiv49\pmod{100}$%, $%7^4\equiv49^2\equiv1\pmod{100}$%. Тем самым, $%7^9\equiv7\pmod{100}$%, то есть последние две цифра числа из условия равны $%07$%.

В данной задаче, ввиду специфики используемых чисел, этот же вывод можно получить короче, но общий метод соответствует тому, что было описано выше.