найти две последние цифры числа 7^(9^(9^9 ) )

задан 12 Мар '14 5:53

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь нужно несколько раз использовать теорему Эйлера. Требуется найти значение числа из условия по модулю $%100$%. Эта задача сводится к нахождению значения показателя степени, то есть $%9^{9^9}$%, по модулю $%\varphi(100)=40$%. Что, в свою очередь, сводится к нахождению $%9^9$% по модулю $%\varphi(40)=16$%, и $%9$% по модулю $%\varphi(16)=8$%, что равно $%1$%.

Таким образом, $%9\equiv1\pmod8$%, откуда $%9^9\equiv9^1\pmod{16}$%. Далее, $%9^{9^9}\equiv9^9\pmod{40}$%, что достаточно просто вычисляется с учётом того, что $%9^2\equiv1\pmod{40}$%, то есть получается значение $%9$%.

Отсюда следует, что число из условия сравнимо с $%7^9$% по модулю $%100$%. Последовательно возводя в квадрат, имеем $%7^2\equiv49\pmod{100}$%, $%7^4\equiv49^2\equiv1\pmod{100}$%. Тем самым, $%7^9\equiv7\pmod{100}$%, то есть последние две цифра числа из условия равны $%07$%.

В данной задаче, ввиду специфики используемых чисел, этот же вывод можно получить короче, но общий метод соответствует тому, что было описано выше.

ссылка

отвечен 12 Мар '14 9:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×948
×58

задан
12 Мар '14 5:53

показан
7626 раз

обновлен
12 Мар '14 9:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru