Боковое ребро правильной пирамиды ABCD с основанием ABC равно $$8\sqrt{10}$$, угол ADB=$$arcsin\sqrt{111}/20$$. Точки A1,B1,C1 - середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найти радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков AC1, BA1, CB1 .

задан 12 Мар '14 20:34

изменен 12 Мар '14 21:46

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Про боковую грань нам всё известно из условий задачи. Мы можем найти косинус угла при вершине, выражая его через синус. Потом применить теорему косинусов и найти длину стороны основания. Там получается $%AB=8\sqrt3$%. Также нетрудно найти длину медианы по известным формулам. Получается $%BA_1=16$%.

Один из способов состоит в том, чтобы ввести подходящую систему координат и далее всё посчитать. При этом понадобится длина высоты пирамиды -- её нетрудно найти из имеющихся данных. Но этот способ довольно долгий, поэтому я рассмотрю другое решение.

Пусть $%O$% -- центр основания, $%O_1$% -- центр сферы. Положим $%O_1O=r$% -- эту величину требуется найти. Мы исходим из того, что расстояние от $%O_1$% до прямой $%A_1B$% тоже равно $%r$%. Попробуем это расстояние выразить. Если из точки $%O_1$% опустить на эту прямую перпендикуляр с основанием $%O_2$%, то окажется, что у прямоугольных треугольников $%O_1BO$% и $%O_1BO_2$% имеется общая гипотенуза и равные катеты. Значит, треугольники равны, и $%BO_2=BO=AB/\sqrt3=8$%. С учётом того, что $%BA_1=16$%, оказывается, что $%O_2$% есть середина отрезка $%A_1B$%. Именно в этой точке сфера касается прямой.

Мы получили, что $%O_1A_1=O_1B$%, и теперь можно приравнять квадраты расстояний. Мы знаем, что $%O_1B^2=r^2+64$%. Что касается отрезка $%O_1A_1$%, то при проекции на плоскость основания точка $%O_1$% проектируется в $%O$%, а точка $%A_1$% -- в середину $%AO$%. Значит, длина этой проекции равна $%4$%. Теперь посмотрим, какова проекция того же отрезка на высоту пирамиды. Длина высоты легко находится через длину бокового ребра и расстояние от центра основания до вершины; при этом получается $%24$%. Точка $%A_1$%, тем самым, удалена от плоскости основания на расстояние $%12$%, а точка $%O_1$% на расстояние $%r$%. Поэтому длина проекции отрезка $%O_1A_1$% на высоту равна $%|12-r|$%. Используя теорему Пифагора, находим $%O_1A_1^2=(12-r)^2+4^2$%.

Приравнивая эту величину к $%O_1B^2=r^2+64$%, находим $%r=4$%.

ссылка

отвечен 13 Мар '14 0:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×527
×90

задан
12 Мар '14 20:34

показан
776 раз

обновлен
13 Мар '14 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru