геометрия - Найдите радиус большой окружности

Я рассмотрю решение в "буквенном" виде, то есть для случая произвольных длин. Численный ответ тут выглядит не слишком "элегантно". Я буду использовать стандартные обозначения для длин сторон, площади, полупериметра и радиуса вписанной окружности. Радиус большой окружности, который надо найти, обозначим через $%\rho$%.

Поместим начало координат в точке $%A$%, и ось абсцисс направим вдоль луча $%AC$%.Ось ординат выбирается так, чтобы точка $%B$% оказалась в верхней полуплоскости.

Известно, что отрезки касательных к вписанной окружности, проведённые из точки $%A$%, равны $%p-a$%. Поэтому центр вписанной окружности имеет такие координаты: $%O(p-a;r)$%. Они выражаются через длины сторон. Для центра большой окружности нам известна абсцисса: она равна $%b/2$%, так как точка $%O_1$% равноудалена от $%A$% и $%C$%. Ординату мы не знаем, и пусть она равна $%y$% (это число может быть в том числе отрицательным). Поскольку расстояние от точки $%O_1$% до начала координат равно $%\rho$%, приходим к уравнению $%\rho^2=y^2+b^2/4$%.

Расстояние между центрами касающихся окружностей в нашем случае равно $%\rho-r$%. Отсюда получается такое уравнение: $%(\rho-r)^2=(p-a-b/2)^2+(r-y)^2=(c-a)^2/4+(y-r)^2$%. Раскрывая скобки, сокращая слагаемое $%r^2$%, а также заменяя $%\rho^2$% на то, чему оно равно согласно первому уравнению, имеем: $%y^2+b^2/4-2r\rho=(c-a)^2/4+y^2-2ry$%, откуда $%2r(\rho-y)=(b/2)^2-((c-a)/2)^2=(p-a)(p-c)$%. Таким образом, $%\rho-y=\frac{(p-a)(p-c)}{2r}.$%

Разделим $%\rho^2-y^2=b^2/4$% на разность $%\rho-y$%. Получится $%\rho+y=\frac{b^2r}{2(p-a)(p-c)}$%. Теперь мы можем выразить величину $%\rho$% как полусумму $%\rho-y$% и $%\rho+y$%, получая $$\rho=\frac{(p-a)(p-c)}{4r}+\frac{b^2r}{4(p-a)(p-c)}.$$