Дан треугольник $%ABC$% со сторонами $%6,9,8$%, в него вписана окружность, так же есть еще окружность, касающееся вписанной и проходящая через $%A$% и $%C$% найти радиус большой (невписанной) окружности. alt text Из рисунка видно, что диаметр вписанной окружности равен радиусу описанной, но это надо доказать (так как рисунок к задаче не прилагался), после я не вижу другого пути, как расчитать радиус вписанной через полупериметр и стороны.

задан 12 Мар '14 23:15

изменен 13 Мар '14 19:42

Deleted's gravatar image


126

@kirill1771: из рисунка нельзя делать никаких выводов. Мы здесь может быть уверены только в том, что вписанная окружность проходит где-то близко к точке $%O_1$%, и не более того.

Я бы решал эту задачу при помощи координатного метода. При этом площадь, полупериметр, а также радиус вписанной окружности надо найти отдельным вычислением.

(13 Мар '14 0:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я рассмотрю решение в "буквенном" виде, то есть для случая произвольных длин. Численный ответ тут выглядит не слишком "элегантно". Я буду использовать стандартные обозначения для длин сторон, площади, полупериметра и радиуса вписанной окружности. Радиус большой окружности, который надо найти, обозначим через $%\rho$%.

Поместим начало координат в точке $%A$%, и ось абсцисс направим вдоль луча $%AC$%.Ось ординат выбирается так, чтобы точка $%B$% оказалась в верхней полуплоскости.

Известно, что отрезки касательных к вписанной окружности, проведённые из точки $%A$%, равны $%p-a$%. Поэтому центр вписанной окружности имеет такие координаты: $%O(p-a;r)$%. Они выражаются через длины сторон. Для центра большой окружности нам известна абсцисса: она равна $%b/2$%, так как точка $%O_1$% равноудалена от $%A$% и $%C$%. Ординату мы не знаем, и пусть она равна $%y$% (это число может быть в том числе отрицательным). Поскольку расстояние от точки $%O_1$% до начала координат равно $%\rho$%, приходим к уравнению $%\rho^2=y^2+b^2/4$%.

Расстояние между центрами касающихся окружностей в нашем случае равно $%\rho-r$%. Отсюда получается такое уравнение: $%(\rho-r)^2=(p-a-b/2)^2+(r-y)^2=(c-a)^2/4+(y-r)^2$%. Раскрывая скобки, сокращая слагаемое $%r^2$%, а также заменяя $%\rho^2$% на то, чему оно равно согласно первому уравнению, имеем: $%y^2+b^2/4-2r\rho=(c-a)^2/4+y^2-2ry$%, откуда $%2r(\rho-y)=(b/2)^2-((c-a)/2)^2=(p-a)(p-c)$%. Таким образом, $%\rho-y=\frac{(p-a)(p-c)}{2r}.$%

Разделим $%\rho^2-y^2=b^2/4$% на разность $%\rho-y$%. Получится $%\rho+y=\frac{b^2r}{2(p-a)(p-c)}$%. Теперь мы можем выразить величину $%\rho$% как полусумму $%\rho-y$% и $%\rho+y$%, получая $$\rho=\frac{(p-a)(p-c)}{4r}+\frac{b^2r}{4(p-a)(p-c)}.$$

ссылка

отвечен 13 Мар '14 10:45

@falcao: спасибо, хотелось спросить (извините, ведь Вы и так все расписали, но я уже долго пытаюсь и не могу понять одну вещь), как получилось, что отрезки касательных к вписанной окружности, проведённые из точки $%A%$%, равны $%p−a$%?

(13 Мар '14 23:21) kirill1771
1

@kirill1771: это довольно стандартная вещь, она часто используется в задачах. Если обозначить неизвестные длины отрезков касательных через x, y, z, то x+y=c, y+z=a, z+x=b. Складываем и делим пополам; это даёт x+y+z=p. Отсюда x=p-a.

Можно то же самое представить себе без уравнений, рассмотрев три отрезка касательных, где из каждой пары равных взят один. Вместе они дают полупериметр, а два из них образуют какую-то сторону.

(13 Мар '14 23:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×760

задан
12 Мар '14 23:15

показан
1067 раз

обновлен
13 Мар '14 23:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru