Решите систему уравнений: Logz y = Y/2 Logy x= z Logx z = 1/y

задан 13 Мар '14 10:42

10|600 символов нужно символов осталось
0

Воспользуемся тождеством $%\log_ab=\frac{\log b}{\log a}$%, где в качестве $%\log$% можно взять логарифм по любому фиксированному основанию (например, десятичный). Отсюда будет следовать, что произведение чисел $%\log_zy$%, $%\log_yx$% и $%\log_xz$% равно единице, то есть $%\frac{y}2\cdot z\cdot\frac1y=1$%, и $%z=2$%. Из второго уравнения тогда следует, что $%x=y^2$%. Первое уравнение можно записать в виде $%2^{y/2}=y$%. Третье уравнение будет следствием первых двух.

У уравнения $%2^{y/2}=y$% есть два очевидных решения: $%y=2$% и $%y=4$%. Надо проверить, что других решений у него нет. Рассмотрим функцию $%f(y)=2^{y/2}-y$%. Если она обращается в ноль в трёх различных точках, то между соседними нулями функции обращается в ноль её производная, и тогда между двумя различными нулями производной имеется точка, в которой вторая производная обращается в ноль. Этого, однако, не наблюдается, так как $%f'(y)=\frac122^{y/2}\ln2-1$% и $%f''(y)=\frac142^{y/2}\ln^22 > 0$%.

Таким образом, система имеет два решения: $%(x;y;z)=(4;2;2)$% и $%(x;y;z)=(16;4;2)$%. Непосредственная проверка показывает, что оба они подходят.

ссылка

отвечен 13 Мар '14 20:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843

задан
13 Мар '14 10:42

показан
919 раз

обновлен
13 Мар '14 20:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru