Найдите минимальное значение выражения $$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + x_2x_3 + x_3^2 + ... + x_{99}x_{100} + x_{100}^2 + 2x_{100}$$ здесь - икс первое в квадрате и т.д.

задан 13 Мар '14 10:50

изменен 13 Мар '14 11:06

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь нужно последовательно выделять полные квадраты, обнаруживая возникающую при этом закономерность. Пусть $%F$% -- данное в условии выражение. Тогда $%F=(x_1+\frac12x_2)^2+\frac34x_2^2+x_2x_3+x_3^2+\cdots=(x_1+\frac12x_2)^2+\frac34(x_2+\frac23x_3)^2+\frac23x_3^2+\cdots$%, откуда можно увидеть, что в этом процессе получается сумма вида $%F=\cdots+\frac{m+1}{2m}(x_m+\frac{m}{m+1}x_{m+1})^2+\cdots$%. В конце получится $%F=\cdots+\frac{101}{200}x_{100}^2+2x_{100}=\cdots+\frac{101}{200}(x_{100}+\frac{200}{101})^2-\frac{200}{101}$%.

Легко заметить, что все выражения, которые здесь возводятся в квадрат, могут одновременно обращаться в ноль на некотором наборе значений переменных. Отсюда следует, что минимальное значение выражения $%F$% равно $%-\frac{200}{101}$%.

ссылка

отвечен 13 Мар '14 13:02

изменен 13 Мар '14 19:40

@falcao: Извините, но по-моему в последней скобке небольшая неточность. Дробь 200/101, которая в скобке не надо умножать на 2.

(13 Мар '14 18:06) serg55

@serg55: да, это опечатка. Спасибо, что заметили. Там многие выражения в формулах повторялись, я часть из них в процессе набора "копипастил", и таким образом получился лишний коэффициент. Сейчас исправлю.

(13 Мар '14 19:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,849

задан
13 Мар '14 10:50

показан
655 раз

обновлен
13 Мар '14 19:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru