Положительные числа удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите неравенство: x^3/(x^2+yz) + y^3/(y^2+zx) + z^3/(z^2+xy) больше или равно корню квадратному из 3, деленному на 2.

задан 13 Мар '14 11:24

изменен 13 Мар '14 19:39

Deleted's gravatar image


126

Числа в знаменателе, судя по всему, должны быть окружены скобками.

(13 Мар '14 13:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь нужно несколько раз применить неравенство о среднем в разных вариантах.

Прежде всего, $%\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}$%. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к выражению в знаменателе, получаем $%x^2+yz\ge2\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{yz}$%. Отсюда следует, что $%\frac{xyz}{x^2+yz}\le\frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}2$%, а потому $%\frac{x^3}{x^2+yz}\ge x-\frac{\sqrt{yz}}2$%.

Применяя аналогичные неравенства для остальных слагаемых и складывая их вместе, получаем, что $$\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+zx}+\frac{z^3}{z^2+xy}\ge(x+y+z)-\frac12(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}).$$

Величину $%x+y+z$% оценим снизу. Возведём её в квадрат и воспользуемся известным неравенством $%x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$% (оно получается в результате сложения неравенства $%(x-y)^2\ge0$% и ему симметричных). Получается, что $%(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\ge3(xy+yz+zx)$%, что в соответствии с условием равно $%3$%. Поэтому $%x+y+z\ge\sqrt3$%.

Далее, к сумме $%\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$% применим неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратическом. Его можно записать в виде $%u^2+v^2+w^2\ge\frac13(u+v+w)^2$%. Выводится оно из неравенства, связывающего сумму квадратов и сумму попарных произведений чисел. Мы его применим для случая положительных чисел в таком виде: $%u+v+w\le\sqrt{3(u^2+v^2+w^2)}$%, где в качестве $%u$%, $%v$%, $%w$% взяты квадратные корни из попарных произведений. Получится, что $%\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le\sqrt{3(xy+yz+zx)}$%, что равно корню из трёх.

Применяя две полученные выше оценки, заключаем, что величина из условия не меньше $%\sqrt3-\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 13 Мар '14 20:09

@falcao: Извините. У меня подобная задача, со следующими условиями: Положительные числа удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 3. Докажите неравенство: x^3/(x^2+2yz) + y^3/(y^2+2zx) + z^3/(z^2+2xy) больше или равно 1. Я её решал полностью разобравшись (по-моему) в Вашем решении и следуя ему. Но у меня получается, что заданная сумма дробей больше или равна 3-3/sqrt(2), что меньше 1. Может быть я где-то ошибся или ошибка в условии задачи. Заранее благодарен. С уважением.

(14 Мар '14 13:10) serg55
1

@serg55: условие Вашей задачи несколько отличается за счёт того, что в знаменателях есть множитель 2. Легко заметить, что при x=y=z=1 все неравенства должны превращаться в равенства. Это значит, что в процессе применения неравенств о среднем, должно происходить то же самое. В частности, если применить оценку типа $%x^2+2yz\ge2\sqrt{2x^2yz}$%, то произойдёт ослабление: вместо числа $%3$% получится $%2\sqrt2$%, и оценка получится хотя и верная, но недостаточная. То есть нужно применять сходные идеи при получении оценок, но следить за тем, чтобы в "критическом" случае получалось равенство.

(14 Мар '14 13:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,857

задан
13 Мар '14 11:24

показан
2258 раз

обновлен
14 Мар '14 13:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru