Легко ли решить квадратное уравнение? Вот два примера:

  1. Илье задали на дом квадратное уравнение с целыми коэффициентами. «Учитель сказал, что оно имеет два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет» – пожаловался он. «Ты, наверное, неправильно списал с доски один из коэффициентов. Если это так, то я знаю, как исправить ошибку» – ответила его мама-математик. Который из коэффициентов предложила исправить мама?
  2. Ученик: «Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые коэффициенты но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет». Учитель: «Ты просто не списал с доски коэффициент перед $%x^2$%». Может ли ученик исправить свою описку?

Ответы. Никто не рвется решать эти задачи, так что привожу ответы.

  1. Первый коэффициент.
  2. Нет, не всегда. Например, если ученик записал уравнение $%x^2-3x+18 = 0$%, то первый коэффициент мог на самом деле быть равным (-3) или(-1).

Добавление для @Anatoliy. Слова "Я знаю, как исправить ошибку" означают, что исправление единственное. В уравнении $%x^2+x+12=0$% кроме 7 можно поставить на второе место и -7, так что мама не будет знать, какой вариант правильный.

Второй ответ непонятен. Это для второй задачи? И что он означает? Что в этом случае можно подобрать первый коэффициент? Или нельзя? В этом уравнении целые корни есть.

Эти задачи я придумала по типу известной задачи о возрасте 3 детей ("А старший у меня рыжий"), когда не даются практически никакие числовые данные, но по ответам "знаю" и "не знаю" можно найти решение.

задан 25 Мар '12 16:32

изменен 30 Мар '12 21:10

У меня в почте появляются ответы участника @Максим, но здесь я их не вижу. В чем дело?

(4 Июл '12 0:11) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Решение 1 задачи. Пусть исходное уравнение имеет вид $%ax^2 + bx + c = 0$%.

Исследуем третий коэффициент.

Предположим, что для некоторого целого $%c_1$% уравнение $%ax^2 + bx + c_1 = 0$% имеет решение в целых числах. Тогда $%n = –b/a\in Z$% есть сумма его корней и в качестве $%c_1$% можно взять число $%a\cdot k(n–k)$% для любого целого k. Таким образом, существует бесконечное число способов исправить уравнение и мама не может знать, какой из них правильный.

Попробуем теперь исправить второй коэффициент, b.

Если для некоторого целого $%b_1$% уравнение $%ax^2 + b_1x + c = 0$% имеет решение в целых числах, то $%n = c/a\in Z$% есть произведение его корней. Тогда сами корни могут быть равны, например, $%1$% и $%n$% или $%–1$% и $%–n$%, чему соответствуют два разных исправленных уравнения.

Мы показали, что в условиях задачи второй и третий коэффициенты "исправленного" уравнения должны делиться на его первый коэффициент.

Итак,

Если исправление и может быть единственным, то только если менять первый коэффициент a. Покажем, что такой случай действительно возможен. Действительно, пусть Илюша записал уравнение в виде $%3x^2 + x + 2 = 0$%. Оно не имеет корней и не может быть исправлено за счет второго или третьего коэффициентов, так как ни один из них не делится на $%a = 3$%. Общими делителями для $%b$% и $%c$% будут только $%1$% и $%–1$%, причем уравнение $%x^2 + x + 2 = 0$% не имеет решений, а уравнение $%–x^2 + x + 2 = 0$% имеет целые корни $%x = –1$% и $%x = 2$%. Именно оно и будет единственным возможным исправлением исходного уравнения.

Кстати, @Максим, эта задача была в свое время опубликована в Задачнике журнала "Математика в школе", а уж там сидят люди, которые разбираются в задачах! Впрочем, мой 35-летний олимпиадный опыт тоже чего-то да значит...

ссылка

отвечен 23 Апр '12 22:46

изменен 23 Апр '12 23:02

10|600 символов нужно символов осталось
0
  1. Нужно воспользоваться теоремой Виета.
  2. Найти общие делители второго и третьего коэффициентов уравнения. Полученные значения -возможные значения для коэффициента при x^2. Для автора задачи: Условие задачи должно быть четким и понятным.
ссылка

отвечен 26 Мар '12 13:52

изменен 30 Мар '12 17:08

Я жду полного решения! (Как и Вы по тетраэдрам ...). В условии не задано само уравнение, значит, его надо привести.

У меня есть полное решение этих задач (собственно, я их автор и та "мама", о которой говорится в условии).

(26 Мар '12 13:59) DocentI

Вы очень серьезная мама.

(26 Мар '12 14:14) Anatoliy

Вы бы видели меня пару лет назад (вернее, мой нос с пирсингом), Вы бы так не сказали! Задача придумана давно, когда сын еще только говорить начал...

(26 Мар '12 14:17) DocentI

У Вас высокий интеллектуальный потенциал. А что касается пирсинга, то это не главное.

(26 Мар '12 14:32) Anatoliy

Вы же про серьезность говорили. Я ужасно несерьезна! А все-таки, как уравнения? ;-))

(26 Мар '12 14:39) DocentI

Что-то не верится. Но это несущественно.

(26 Мар '12 15:31) Anatoliy

Юыла бы серьезной, была бы не DocentI, а DoctorIS...

(26 Мар '12 15:35) DocentI

Еще не все потеряно!

(27 Мар '12 17:24) Андрей Юрьевич

1)А как быть с уравнением x^2+1x+12=0? Ученик вместо 7 поставил 1 или вообще опустил. 2)Учитель мог задать уравнеие 2x^2+6x+4=0.

(30 Мар '12 12:23) Anatoliy
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Первое задание составлено вообще не серьёзно. За корни уравнения возьмите любые целые числа и по теореме Виета составьте уравнение. Пример: х1=2, х2=-3; (х-2)*(х+3)=х2+х-6, приравниваем нулю, получаем х2+х-6=0. Это уравнение имеет целые коэффициенты и целые корни. Внесём в него ошибку так, чтобы дискриминант был отрицателен: х2+х+6=0 (D=1-24=-23, корней нет) Итак, Илья записал х2+х+6=0, а надо было х2+х-6=0. Таких примеров можно привести достаточно много и исправлять можно и 1-й, и 2-й и 3-й коэффициенты как по знаку, так и по величине. Например, Илья записал х2-2х+3=0, а надо х2-4х+3=0 или записал х2+2х+3=0, а надо было писать -х2+2х+3=0. Задача не корректна.

ссылка

отвечен 13 Апр '12 17:10

изменен 13 Апр '12 17:17

Вы не поняли задачу! Мама говорит "я могу исправить" в том смысле, что она знает истинное задание, а не просто "подходящее". Т.е. исправление должно быть единственным!
Если в уравнении $%x^2+x+6$% менять третий коэффициент, можно выбрать не только (-6). Например, при c = -2 получаем уравнение $%x^2+x-2$%, у него есть корни 1 и -2. Какое же уравнение было задано учителем, с $%c = -6$% или $%c=-2$%?

(13 Апр '12 22:39) DocentI

Уважаемая Ирина! Вы, вероятно, решили нас повеселить, поэтому составили некорректные задачи. В первой задаче мама догадалась, что изменение 1-го коэффициента имеет единственное решение и только поэтому мама решила, что ошибка в 1-ом коэффициенте? Ведь мама не видела уравнение учителя? А если оно x2+x−2=0 или x2+x−12=0. Это в вашем условии не отражено. Вторая задача тоже не корректна.

(23 Апр '12 16:14) Максим

Вторая задача тоже не корректна. Квадратное уравнение не может иметь 1-й коэффициент, равный нулю. А вот уравнение x2−3x+18=0 имеет коэффициент, равный единице, поэтому учитель не может сказать, что ученик его не списал. А уж если подставить коэффициент (-3)в уравнении x2−3x+18=0? На 3 можно сократить все коэффициенты. Уравнение с целыми коэффициентами и целыми корнями всегда имеет 1-й коэффициент +-1. Если речь идёт только о первом коэффициенте и у ученика получилось, что корней нет, значит он неверно написал знак у 1-го коэффициента. Поэтому ответ "да" может.

(23 Апр '12 16:32) Максим

Уважаемый @Максим. Для математика "-" это тоже коэффициент, равный -1. А что за возражение, что все коэффициенты можно сократить на 3? По-вашему, $%-3x^2-3x+18=0$% не является квадратным уравнением? Или его "неприлично" задавать в качестве домашнего задания? Для первой задачи можно строго показать, что второй и третий коэффициенты восстанавливаются неоднозначно. В то же время существуют уравнения типа того, которое записал сын, у которых можно "исправить" только один коэффициент, причем первый.
Напишу свое решение.

(23 Апр '12 22:32) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Уважемая Docenty, вот моё решение, отличное от Вашего. Сравните, какое проще.

Приведённый вид уравнения с целыми корнями x2+px+q=0, где p и q – целые числа. Все остальные уравнения ax2+bx+c = 0 есть не что иное, как аx2+apx+aq=0, то есть равносильные с приведённым видом. Делимость 2-го и 3-го коэффициентов на 1-ый (что сделали Вы в своём решении) доказывать не следует, так как это очевидный факт (аx2+apx+aq=0, умножить и разделить на одно и то же число). Существует много вариантов (из множества целых чисел) для изменения второго и третьего коэффициентов (–р = х1+х2; q= х1•х2; их изменение влечёт изменение корней). Существование случая с единственным исправлением 1-го коэффициента, которое вы посчитали нужным доказать, также излишне, это заложено в условии Вашей задачи («Мама знает единственное решение Илюшиного уравнения», то есть единственное решение СУЩЕСТВУЕТ, и мама его знает). Следовательно, задано уравнение в приведённом виде, у которого 2-й и 3-й коэффициенты не имеют общего делителя.

Решение.

Итак, изменяем первый коэффициент. Если Илюша поставил перед х2 коэффициент, отличный от единицы, он ошибся. Правда, учитель мог умножить все члены на (–1) тогда заданное уравнение может иметь коэффициент при х2 равный – 1. В таком случае задача сводится к тому, что стоит перед х2, +1 или –1? В одном из этих вариантов корней нет, другой вариант – единственно правильный.

Во второй задаче уравнение задано в неприведённом виде. Учитель: «Ты просто не списал с доски коэффициент перед x2». Получается, что задача сводится к вопросу: «На какое число умножены все члены приведённого уравнения (ax2+bx+c=аx2+apx+aq)? Можно ли назвать первый коэффициент?»

ссылка

отвечен 8 Июл '12 10:09

изменен 8 Июл '12 21:50

Не вижу принципиальной разницы между решениями. Если Вы считаете, что нечто можно не доказывать, так как это "и так известно" - значит, у нас просто разная целевая аудитория. Моя - школьники 8-11 классов, которые квадратные уравнения решали через дискриминант, а целочисленной математики вообще не видели. Поэтому каждый "очевидный" шаг требует от них некоторого логического напряжения.
Впрочем, я не согласна с "доказательством" существования нужного примера. Мамы, они разные бывают. Может, она ошиблась?

(8 Июл '12 23:11) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,508
×708

задан
25 Мар '12 16:32

показан
3578 раз

обновлен
8 Июл '12 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru