При каких значениях параметра $%a$% уравнение

$%|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a$%

будет иметь единственное решение.

задан 14 Мар '14 15:54

изменен 14 Мар '14 18:38

@kirill1771: а там под знаком модуля точно $%x+1$% находится, а не $%x-1$%, например? В таком виде, как написано, задача выглядит достаточно сложной (хотя это не значит, что она "нерешаемая").

(14 Мар '14 17:49) falcao

@falcao: мне дали это условие на бумаге, скорее всего там будет $%x-1$%, так как ответ должен быть целый. Давайте представили ее, как удобней.

(14 Мар '14 18:37) kirill1771

Вот вчера эта задача была, а потом была убрана. Я ее решил, теперь решение выкинул. Сейчас поищу. Записана она верно

(14 Мар '14 18:46) epimkin

@kirill1771: для случая x-1 вместо x+1 работает идея симметрии (как часто бывает в таких задачах), и этот вариант достаточно простой. Решение тут уже поместил @epimkin.

(14 Мар '14 19:02) falcao

Я сейчас нашел ее одно решение, в котором непонятное (для меня) начало, вот оно: "Пусть число $%x$% - решение уравнения при некотором значении параметра $%a$%. Тогда число $%(2-x)$% есть его решение при том же значении $%a$%" - вот это я не могу понять, откуда взялось $%(2-x)$%? Конечно можно еще заметить, что если $%(x-1)^2=0$% и $%(1-x)^2=0$% при $%x=1$%, но еще нужно доказать, что это единственное решение.

(14 Мар '14 19:05) kirill1771
1

@kirill1771: здесь вместе с каждым решением рассматривается "симметричное", но не относительно нуля, а относительно единицы. Если ввести обозначение $%y=x-1$%, то "симметричным" будет значение $%-y$%, для которого и модули, и квадраты те же самые. Это число равно $%1-x$%, то есть оно имеет вид $%(2-x)-1$%.

Или можно объяснить так: значения выражений $%|x-1|$% и $%(x-1)^2$% не меняются при замене $%x\mapsto2-x$%. Значит, если $%x$% было решением уравнения, то вместе с ним будет и $%2-x$%.

(14 Мар '14 19:35) falcao

@falcao , Нет. День числа pi Праздник сегодня

(14 Мар '14 19:47) epimkin

Про день числа $%\pi$% я видел упоминание, но всё-таки действительных чисел -- целый континуум, и на всех праздников не напасёшься. А сон -- вещь намного более фундаментальная! :)

(14 Мар '14 19:55) falcao

@falcao: разрешите воспользоваться случаем и задать вам маленькие вопросы не по теме (если хотите, я задам их отдельно): чем равносильность отличается от следствия? (то есть, когда ставится $%\implies$%, а когда $%\Leftrightarrow$%). И чем совокупность отличается от системы (равенств, например)? Заранее, очень благодарен Вам!

(14 Мар '14 20:09) kirill1771
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

Нашел

ссылка

отвечен 14 Мар '14 18:50

Но задавал ее кто-то другой, по-моему

(14 Мар '14 18:52) epimkin

@epimkin: у меня в почте было извещение, но с форума условие к тому моменту было уже убрано. Я сейчас нашёл его, и там под модулем стоит x-1. В таком виде всё достаточно стандартно, а вот c x+1 задача получается довольно непростая.

(14 Мар '14 19:00) falcao

@falcao, а где х+1? Или было раньше? А задача с "Диагностическая работа №3 МИОО 13.03.14"

(14 Мар '14 19:06) epimkin

@falcao, сегодня, оказывается Ваш профессиональный праздник. Поздравляю

(14 Мар '14 19:20) epimkin

@epimkin: а у Вас $%t_0$% и $%-t_0$% - два корня, потому что $%t$% стоит под знаком модуля?

(14 Мар '14 19:25) kirill1771
1

Функция относительно t четная

(14 Мар '14 19:30) epimkin
1

@epimkin: в первоначальной версии была опечатка в условии: под знаком модуля стояло число x+1. Кстати, в таком виде задача довольно интересная получается, но как бы сложнее "нормы".

Насчёт профессиональных праздников -- я в календаре нашёл упоминание World Sleep Day. Этому занятию я предаюсь с неизменной охотой! :)

(14 Мар '14 19:40) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Для комментариев уже не осталось места, поэтому я отвечу здесь на вопросы общего характера.

По поводу следования и равносильности: высказывание вида $%A\Rightarrow B$% означает, грубо говоря, что из истинности утверждения $%A$% следует истинность утверждения $%B$%. Например: $%x=3\Rightarrow x^2=9$%. Это, вне всякого сомнения, верно. А высказывание вида $%A\Leftrightarrow B$% означает, что не только $%A\Rightarrow B$%, но ещё и $%B\Rightarrow A$%. Для примера, рассмотренного выше, следование имеет место, а равносильность уже нет. Высказывание $%x^2=9\Rightarrow x=3$% будет ложным, потому что из истинности посылки ($%x^2=9$%) нельзя прийти к выводу, что верно заключение ($%x=3$%). Причина понятна: может оказаться, что $%x=-3$%, и тогда посылка истинна, а заключение ложно. Значит, импликация будет ложной (по определению).

Насчёт систем и совокупностей: рассмотрим для простоты случай двух условий. Система из этих условий означает, что должны выполняться оба условия, то есть и первое, и второе. Вместо записи с фигурной скобкой можно было бы просто написать $%P$% и $%Q$%. А совокупность двух условий (запись с квадратной скобкой) означает, что должно выполняться хотя бы одно из них, то есть $%P$% или $%Q$%. (Если выполняются оба условия, то такой случай также дозволяется.)

Пример: число $%x=10$% не удовлетворяет системе условий $%x > 100$% и $%x$% чётно, но удовлетворяет совокупности этих условий: $%x > 100$% или $%x$% чётно.

ссылка

отвечен 14 Мар '14 20:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036
×227

задан
14 Мар '14 15:54

показан
577 раз

обновлен
14 Мар '14 20:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru