Решить тригонометрическое уравнение

Ввиду того, что $%\cos x+\sqrt3\sin x=2(\cos x\cos\frac{\pi}3+\sin x\sin\frac{\pi}3)=2\cos(x-\frac{\pi}3)$%, это число не превосходит двух. Поэтому неотрицательное число под знаком корня возможно только при условии, когда это число равно двум, то есть $%\cos(x-\frac{\pi}3)=1$%. При этом значение квадратного корня равно нулю, и тогда $%\cos\frac{x}2=-\frac{\sqrt3}2$%. Система из этих двух равенств есть необходимое и достаточное условие того, чтобы $%x$% было решением.

Из первого уравнения получаем $%x=\frac{\pi}3+2\pi k$%, где $%k$% целое. Тогда $%\cos\frac{x}2=\cos(\frac{\pi}6+\pi k)=(-1)^k\frac{\sqrt3}2$%. Отсюда видно, что $%k$% должно быть нечётным, поэтому $%x=\frac{\pi}3+2(2m+1)\pi$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%.