|
В литературе постсоветского пространства нижний предел последовательности $%\varliminf_{n \to \infty} x_n$% определяется как точная нижняя грань частичных пределов. В иностранной литературе он определяется, как $%\varliminf_{n \to \infty} x_n= \lim\limits_{k \to \infty} \inf\limits_{n\geq k} x_n$% И у меня возник вопрос: как доказать эквивалентность этих двух определений? задан 14 Мар '14 18:41 
MathTrbl |
|
В случае, когда последовательность не ограничена снизу, в обоих случаях получается $%-\infty$%. Предположим, что нижний предел последовательности $%x_n$% существует, то есть она содержит хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность. Тогда множество частичных пределов непусто и ограничено снизу, поэтому существует точная нижняя грань $%a$% чисел этого множества. Докажем, что во втором определении будет существовать тот предел при $%k\to\infty$%, о котором идёт речь, и что он равен $%a$%. Прежде всего, нетрудно доказать, что существует подпоследовательность, сходящаяся к $%a$% (для этого достаточно рассматривать подпоследовательности, сходящиеся к точкам, "близким" к $%a$%, строя с их помощью то, что нужно). Из этого следует, что точная нижняя грань любой последовательности вида $%x_k$%, $%x_{k+1}$%, ... существует, и при этом не больше $%a$%. С увеличением $%k$% может происходить лишь увеличение точной нижней грани, то есть последовательность, зависящая от $%k$%, не убывает, и при этом она ограничена сверху (числом $%a$%). Следовательно, она имеет предел, не превосходящий $%a$%. Осталось доказать, что этот предел не может быть меньше $%a$%. Предполагая, что он равен $%a' < a$%, рассмотрим $%\delta$%-окрестность $%a'$%, выбирая $%\delta=(a-a')/2$%. В неё может содержаться лишь конечное число членов последовательности, так как в противном случае из них можно было бы выбрать сходящуюся подпоследовательность, предел которой строго меньше $%a$%. Полагая $%k_0$% таким, что $%x_n$% не принадлежит этой окрестности ни при каком $%n\ge k_0$%, замечаем, что все точные нижние грани соответствующих последовательностей (для $%k\ge k_0$%) отделены от $%a'$% по крайней мере на $%\delta$%, что противоречит свойству числа $%a'$%. отвечен 14 Мар '14 22:10 
falcao @falcao: "В ней может содержаться лишь конечное число членов последовательности, так как в противном случае из них можно было бы выбрать сходящуюся подпоследовательность, предел которой строго меньше a", -- разве до этого не допустили, что существует предельная точка a'<a? Т.е. изначально положили, что существует a'<a, а теперь сразу же утверждается, что в окрестности содержится конечное число элементов. Не могли бы Вы пояснить, пожалуйста?
(27 Янв '16 3:29)
stander
@stander: здесь происходит рассуждение от противного. Не удивительно, что в итоге возникает противоречие. Но оно не возникает как нечто самоочевидное в самом начале. Дело в том, что через a' у нас обозначен не предел одной из подпоследовательностей, то есть это не предельная точка, а всего лишь предел вспомогательной последовательности inf_{n>=k}x_n при k->\infty. И уже в ходе рассуждения, опираясь на предыдущее, мы проверяем, что такое невозможно.
(27 Янв '16 3:55)
falcao
|