Как определить стороны прямоугольников, если их периметры равны, а площади соотносятся как 1:5, при расчетах используя только действия: сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень без всяких неизвестных.

задан 25 Мар '12 21:31

изменен 25 Мар '12 22:52

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

А можно использовать картинки?
Покрасим периметр "меньшего" прямоугольника красным, "большего" - синим. Наложим два искомых прямоугольника углами друг на друга (углы A на картинке). Полупериметры прямоугольников состоят из отрезков DA+AB (красный) и RA+AP (синий). "Выступающие" части этих отрезков должны быть равны. Значит, должно быть PB = DR.
Построим разбиенеие "синего" прямоугольника на части так, чтобы он оказался в 5 раз больше "красного".
Отложим 5 прямоугольников, равных заштрихованному (см. рисунок). Теперь надо добиться того, чтобы оставшаяся белая часть была в 4 раза больше желтого прямоугольника. Тогда вместе они составят как раз 5 "желтых".
Проще всего сделать это так: длину белых полосочек взять равной 5, тогда длина желтого прямоугольника будет 10. 4 желтых получается из 8 белых (так как они в 2 раза короче). Поэтому необходимо высоту белой (а, следовательно, и заштрихованной) частей взять равной 8.
alt text

Получаем прямоугольники $%1\times 18$% и $%9\times 10$%. Это решение не единственное.

Если длину маленького белого прямоугольника взять равной k единиц, а не 5, то длина желтого будет 5+k. Значит, 4 желтых равны по площади 4(5+k). Чтобы составить такой прямоугольник из "полосок" длиной k их надо взять в количестве $%4(5+k)/k= 20/k +4$%. Это и будет высотой штрихованного прямоугольника. Получаем для искомых прямоугольников размеры $%1\times (9 + k +20/k)$% и $%(5 + 20/k)\times (5+k)$%. Умножив все стороны на k получим более красивую формулу $$k\times (k^2+9k+20);(5k + 20)\times k(k+5)$$

Кстати, здесь k можно считать любым (не обязательно рациональным) положительным числом.

Для увеличения площади в n раз аналогичным построением (при k=n) получаем прямоугольники $%1\times (4n-2)$% и $%(2n-1)\times 2n$%. Более общая формула указана в комментариях. Если переобозначить в ней n+k=m, получим еще одно представление:$$(m-n)\times m(m-1); (m-n)m\times (m-1)n$$ Периметры обоих прямоугольников равны $%m^2-n$%. Существует еще бесчисленное количество параметрических представлений решения.

ссылка

отвечен 26 Мар '12 0:01

изменен 28 Мар '12 1:25

.....Чтобы периметры прямоугольников были равна, должно быть PB = DR.... почему?на чертеже вижу два заштрихованных прямоугольника. Если предположить,что меньший из них 1х5,то больший 5х5. Площади разнятся в 5 раз, а периметры то разные. Я не вижу на чертеже двух прямоугольников с одинаковыми периметрами (может чего-то не понял) вы применяете неизвестные, а по условию это не допустимо.

(27 Мар '12 17:14) sedan

А Вы видите синюю и красную границы? Синяя охватывает больший прямоугольник, а красная - меньший. Полупериметр прямоугольника - это сумма соседних сторон. У "Синего" это AR + AP, у "красного" AD + AB. Несовпадающие части - как раз PB и DR. Теперь я стараюсь составить синий прямоугольник из 5 "штрихованных" и 5 "белых" частей красного. Штрихованные помещаю непосредственно, а для белой части рассчитываю ширину.
На картике штрихованный прямоугольник имеет размер $%1\times 8$%, рассчитанный исходя из того, что белый прямоугольник имеет длину 10. И где здесь неизвестные? Есть только параметр k

(27 Мар '12 21:36) DocentI

И вообще, что означают слова "не использовать неизвестные"? Они математически некорректны. Неизвестные у нас есть изначально: это сами прямоугольники и их размеры.
Кстати, задача имеет бесконечное число решений, так что описатьвсе их можно только с помощью параметра, в качестве которого я взяла k. Это - не неизвестная, а как раз известная (заданная перед началом построения) величина.

(27 Мар '12 21:39) DocentI

у меня есть задача: каковы стороны прямоугольников, если их периметры равны, а площади отличаются в пят(шесть....десять.....196.....)раз. я должен манипулировать только этой величиной.Т.е. могу возводить в степень,или умножать или делить, или вычетать, складывать. когда я увидел эту задачу, то не мог понять, как с одним числом можно делать какие -то манипуляции и как определить второе число. Но решение не одного десятка аналогичных задачь по предлженному алгоритму ответ всегра верный.Алгоритм приведу,но доказательств почему так,а не иначе у меня нет, как думаю и у всех математиков

(27 Мар '12 23:30) sedan

Если нет доказательства, то неинтересно. Это не решение. Так и пишите "найдите эвристический алогритм". Мы (участники форума) говорим с Вами на разных языках. А для построения любых прямоугольников такого вида (я привелf общую параметрическую формулу (если заменить 5 на n):
$$1 \times (2n+k-1+\frac{n(n-1)}{k});
(n+\frac{n(n-1)}{k})\times (n+k)$$. Или так (умножим все стороны на k): $$k\times ((n+k)(n+k-1)); (n(n+k-1))\times (k(n+k))$$ Может, Ваш алгоритм дает какую-нибудь такую величину...

(27 Мар '12 23:59) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если одну из сторон первого прямоугольника обозначить через x, а второго через y, то получим уравнение 5(p-x)x=(p-y)y (p - полупериметр прямоугольника). Это уравнение имеет бесконечное множество решений. Арифметика здесь не поможет.

ссылка

отвечен 26 Мар '12 11:11

Можно построить решения в параметрическом виде (я дополнила свой ответ).

(26 Мар '12 11:34) DocentI

Никогда не говори никогда. Условие: не использовать неизвестные.

(27 Мар '12 16:48) sedan

@sedan, а что является решением - один из примеров или общее построение? И чем Вам не нравится мой ответ?

(27 Мар '12 21:24) DocentI

очень много не понятного например: ...Чтобы периметры прямоугольников были равна, должно быть PB = DR.... Почему? ведь в вашем ответе - ...Получаем прямоугольники 1×18 и 9×10......надо добиться того, чтобы оставшаяся часть была в 4 раза больше незаштрихованной части "красного" прямоугольника....Почему?..по ширине горизонтальные части в 2 раза меньше его, а по высоте - в 8 раз больше...? как строим синий прямоугольник?....Если длину маленького белого прямоугольника взять равной k единиц, а не 5, то "количество" таких прямоугольников должно быть.... ? если k известно, то чему оно равно?..и.д.

(28 Мар '12 0:27) sedan

Ну подумайте немного сами. Решение верное, уверяю Вас. Здесь мало места, переделаю свой ответ.

(28 Мар '12 0:41) DocentI

ответ на поставленный вопрос: "периметры равны,а площади различаются" беру специально большое число,чтобы не было ощущения подгонки. давайте 159.Т.е. найти прямоугольники с одинаковым периметром, но с площадями различающимися в 159 раз. алгоритм: 159^3=4019679 4019679 -1= 4019678 159-1= 158 4019678 - 158 = 4019520 стороны первого четырехугольника 158 х 4019520 159^2 = 25281 25281 - 1 = 25280 4019678 - 25280 = 3994398 стороны второго четырехугольника 25280 х 3994398

(28 Мар '12 11:56) sedan

Вы из тайги пишете? Читать сложно, неплохо бы расставить запятые. И зря Вы не пользуетесь буквенными обозначениями, все было бы гораздо прозрачнее. Если повторить вычисления для 159=n, получим стороны $%(n^3-n)\times(n-1)$% и $%(n^2-1)\times (n^3-n^2)$%. Сокращая все на n-1, получим $%n(n+1)\times 1$% и $%(n +1)\times n^2$%. Это частный случай моего решения при m = n+1 или, еще проще, k=1. Но мое решение обосновано. Так что математики кое-что могут!

(28 Мар '12 12:45) DocentI

@sedan. В математике Вы конечно, не разбираетесь, но задачи ставите неплохие. Думаю, эту задачу можно использовать для работы со школьниками (придав ей, конечно, "товарный вид")

(28 Мар '12 12:47) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,235

задан
25 Мар '12 21:31

показан
2608 раз

обновлен
28 Мар '12 12:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru