Доказать, что с.в. x и y независимы тогда и только тогда, когда максимальный коэффициент корреляции равен 0.

задан 15 Мар '14 17:58

изменен 25 Мар '14 0:27

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

В одну сторону утверждение очевидно: если $%X$% и $%Y$% независимы, то случайные величины $%f(X)$% и $%g(Y)$% будут независимы для любых функций $%f$% и $%g$% вещественного аргумента.

Обратно, предположим, что $%X$% и $%Y$% не являются независимыми. Тогда существуют события $%A$% и $%B$%, принадлежащие сигма-алгебрам величин $%X$% и $%Y$% соответственно, для которых $%P(AB)\ne P(A)P(B)$%. При этом можно считать, что $%A$% имеет вид $%\{X\le a\}$% для некоторого числа $%a$%, и $%B$% имеет вид $%\{Y\le b\}$% для некоторого числа $%b$%.

В качестве $%f$% и $%g$% возьмём характеристические функции множеств $%(-\infty;a]$% и $%(-\infty;b]$% соответственно. При этом $%f(X)$% принимает значение $%1$% с вероятностью $%P(A)$% и значение $%0$% с вероятностью $%1-P(A)$%. Случайная величина $%g(Y)$% принимает значение $%1$% с вероятностью $%P(B)$% и значение $%0$% с вероятностью $%1-P(B)$%.

Очевидно, что $%Mf(X)=P(A)$%; $%Mg(Y)=P(B)$%, и $%Mf(X)g(Y)=P(AB)$%. Тем самым, ковариация случайных величин $%f(X)$% и $%g(Y)$% ненулевая. Обе величины имеют отличную от нуля дисперсию, поэтому коэффициент корреляции между этими величинами тоже ненулевой.

ссылка

отвечен 15 Мар '14 18:29

1)Ковариация для f(X) и g(Y) тоже определяется как cov(f(X),g(Y))=(M(f(X)-M(f(X)))(M(g(Y)-M(g(Y)))? 2)И если да, то для этого случая получится:cov(f(X),g(Y))=(M(f(X)-P(A))(M(g(Y)-P(B))? 3) Mf(X)=P(A)-так как это благоприятный исход?

(15 Мар '14 19:01) Яська

@Яська: ковариацию можно определять как $%M(\xi-M\xi)(\eta-M\eta)$%, а можно как $%M\xi\eta-M\xi M\eta$%. Это тождественно равные выражения.

Если с.в. принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и q, то матожидание по определению равняется $%1\cdot p+0\cdot q$%, то есть $%p$%.

(15 Мар '14 19:11) falcao

Понятно. Для доказательства в одну сторону- если f(X) и g(Y) независимы то f(X)-M(f(X))и g(Y)-M(g(Y)) также независимы, поэтому cov(f(X),g(Y))=0, это верно?

(15 Мар '14 19:37) Яська

@Яська: да, здесь используются простейшие свойства независимых случайных величин, которые можно считать известными. Ковариация независимых величин равна нулю. Это доказывается в учебных курсах. Поэтому промежуточное соображение про f(X)-Mf(X) здесь лишнее.

(15 Мар '14 19:43) falcao

характеристическая функция - это функция которая показывает принадлежит ли функция f множеству (−∞;a]?

(23 Мар '14 21:47) Яська

В данном случае это функция, которая равна 1 при $%x\le a$% и равна 0 при $%x > a$%. Это общее понятие, и оно имеет смысл для любого подмножества заданного множества $%\cal U$%. Если $%A\subseteq{\cal U}$%, то $%\chi_A(t)=1$% при $%t\in A$%; $%\chi_A(t)=0$% при $%t\notin A$%.

(23 Мар '14 22:01) falcao

Почему получилось Mf(X)g(Y)=P(AB), а не Mf(X)g(Y)=P(A)P(B)?ведь по определению мат.ожидания Mf(X)g(Y)=1P(A)P(B)+0(1-P(A))(1-P(B))

(23 Мар '14 23:29) Яська

Рассматривается матожидание с.в. f(X)g(Y), которая принимает значения 0 и 1. С какой вероятностью она равна 1? Для этого должны произойти оба события f(X)=1 и g(Y)=1, то есть должно произойти их пересечение. А это не что иное как AB, поэтому и матожидание будет равно P(AB).

(23 Мар '14 23:34) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×337

задан
15 Мар '14 17:58

показан
1090 раз

обновлен
23 Мар '14 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru