0
1

Доказать что sin z= cos(pi/2-z)= sin( z- 2pik)?

задан 16 Мар '14 19:57

Один способ состоит в следующем: для вещественного аргумента эти тождества известны из школы. Поскольку рассматриваемые функции аналитичны, и они совпадают на вещественной прямой, то отсюда выводится, что они совпадают всюду на комплексной плоскости. Это общий факт, он излагается в учебниках. Второй способ такой: надо выразить синусы и косинусы через экспоненту, а потом применить тождество $%e^{i\pi}=-1$%. При этом всё должно совпасть.

(16 Мар '14 20:42) falcao
1

@аня1: я предложил два способа, из которых Вы можете выбирать. Первый из них -- это ссылка на общие свойства аналитических функций. Вычислений там никаких нет, и расписывать ничего не надо. А во втором способе можно не упоминать об аналитичности как таковой, а воспользоваться определениями косинуса и синуса комплексного аргумента. Они есть в учебниках. Напомню, что $%\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2$%. Аналогично для синуса. Тогда, если воспользоваться этими определениями и подставить значения $%\pi/2-z$% и т.п., всё должно быстро сойтись.

(16 Мар '14 22:12) falcao

@аня1: у нас есть тождество, выражающее косинус через экспоненту. Оно верно при любом $%z$%, то есть под $%z$% понимается произвольное комплексное число. Нас интересует косинус числа $%\pi/2-z$%. Поэтому, согласно тождеству, это даёт $$\cos(\pi/2-z)=\frac{e^{i(\pi/2-z)}+e^{-i(\pi/2-z)}}2.$$ Далее надо упростить это выражение, приводя его к $%\sin z$%.

(19 Мар '14 0:35) falcao

я доказала что cos z(pi/2+z)= sin z , а как доказать что sinz = Sin (z-2pik) , T=2pik, T - обозначить как за период?

(21 Мар '14 19:52) аня1

@аня1: там под знаком косинуса другое число стоит, но это опечатка, судя по всему. Для тождества с синусом всё ещё проще. Надо использовать определение синуса комплексного аргумента: $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$ Если $%z$% изменить на величину $%2\pi k$%, то экспонента не изменится, так как умножится на $%e^{2\pi ki}$%, то есть на единицу.

(21 Мар '14 20:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут уже нет возможности оставлять комментарии, хотя я некоторые из старых удалил. Поэтому отвечу в "основной" части.

Во-первых, то, что Вы находите, это $%\sin(z-2\pi k)$%. Ведь если делается замена переменной в одной части равенства, то она должна осуществляться и в другой части. (То, это выражение равно $%\sin z$%, ещё предстоит доказать.) Во-вторых, дальше Вы всё делаете правильно, только в конце надо применить хорошо известное тождество. А именно, $%e^{2\pi i}=1$%. В более общем виде, это $%e^{2\pi ki}=1$%, где $%k$% целое. На него можно просто сослаться, поскольку это стандартная вещь. Но если Вы с этим материалом не ознакомились, то вот "прямое" доказательство: $%e^{2\pi ki}=\cos2\pi k+i\sin2\pi k=\cos0+i\sin0=1+i\cdot0=1$%.

Ничего, кроме применения этого простого факта, в задаче больше нет. Если тождество применить, то исчезнет всё, что содержало $%k$%, и получится в точности $%\sin z$%, согласно формуле.

ссылка

отвечен 21 Мар '14 21:25

по такому же принципу я и решала предидущий пример с косинусом.

(21 Мар '14 21:31) аня1

Да, конечно. Здесь речь идёт о доказательстве тождеств, поэтому одно с другим должно совпасть просто "по природе вещей". Надо только взять и сравнить. Замечу, что вариант с синусом ещё проще, так как там сомножители обращаются в единицу, и тем самым исчезают.

(21 Мар '14 21:33) falcao

Чё то у меня не получается довести до конца, Вот: sin(2πk-z)= (E^i2π)(E^-iz)-(e^-i2π)(e^-iz)/2*i =.....

(21 Мар '14 22:13) аня1

@аня1: не получается потому, что Вы подставили не то выражение (сравните с тем, что у Вас, и что было в условии). Кроме того, в результате преобразований исчезло k. Если сделать всё аккуратно и внимательно, то должно совпасть.

(21 Мар '14 22:26) falcao

у меня всё получилось:) сошлось всё.

(21 Мар '14 22:49) аня1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952

задан
16 Мар '14 19:57

показан
1855 раз

обновлен
21 Мар '14 22:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru