$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+..+\sqrt{x+2}}}}}}$$
для любого x>=-2

задан 16 Мар '14 21:24

изменен 16 Мар '14 21:24

По-моему, этот вопрос где-то уже задавали. Хотелось бы уточнить, что следует понимать под упрощением.

(16 Мар '14 21:35) falcao

в книге так написано упростить

(16 Мар '14 21:38) parol

А как называется книга?

(16 Мар '14 21:42) kirill1771

@parol: сейчас я попробую кое-что написать -- если именно это считается "упрощением".

(16 Мар '14 21:49) falcao

Пусть $%f(x)=\sqrt{2+x}$%, тогда это выражение можно представить в виде $%f(f(f...f(x))..)$%, но это, думаю, не упрощение.

(16 Мар '14 21:56) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим случай, когда $%x\in[-2;2]$%. Тогда можно записать $%x=2\cos t$%, где $%t=\arccos(x/2)$% -- число из отрезка $%[0;\pi]$%. При этом $%\sqrt{2+x}=\sqrt{2(1+\cos t)}=2\sqrt{\frac{1+\cos t}2}=2\cos(t/2)$% по формуле половинного угла. Здесь учитывается то, что $%t/2\in[0;\pi/2]$%, то есть значение косинуса неотрицательно.

На следующем шаге, после очередного извлечения корня, мы аналогично получаем $%2\cos(t/4)$%, и так далее. После $%n$% извлечений корня получается $%2\cos(t/2^n)$%, то есть при $%x\in[-2;2]$% выражение с участием $%n$% знаков радикала будет равно $$2\cos\frac{\arccos\frac{x}2}{2^n}.$$ Это, в каком-то смысле, можно считать упрощением.

Теперь пусть $%x > 2$%. В этом случае можно представить $%x$% в виде $%x=e^t+e^{-t}$%, где $%e^t$% является одним из корней квадратного уравнения $%z^2-xz+1=0$%. В качестве $%t$% здесь подходит число $%t=\ln\frac{x+\sqrt{x^2-4}}2$%.

При этом оказывается, что $%\sqrt{x+2}=\sqrt{e^t+2+e^{-t}}=\sqrt{(e^{t/2}+e^{-t/2})^2}=e^{t/2}+e^{-t/2}$%. После $%n$% шагов мы получим $%e^{t/2^n}+e^{-t/2^n}$%.

С учётом того, что числа $%\frac{x+\sqrt{x^2-4}}2$% и $%\frac{x-\sqrt{x^2-4}}2$% взаимно обратны, их логарифмы отличаются знаком. Поэтому "свёрнутый" вид выражения будет такой: $$\left(\frac{x+\sqrt{x^2-4}}2\right)^{1/2^n}+\left(\frac{x-\sqrt{x^2-4}}2\right)^{1/2^n}.$$

ссылка

отвечен 16 Мар '14 22:07

@falcao: Ваше решение очень интересное, а как Вы догадались до первого случая?

(16 Мар '14 22:16) kirill1771

@kirill1771: связь с косинусами и формулой половинного угла мне была ясна сразу. А вот для случая $%x > 2$% пришлось "адаптировать" предыдущее рассуждение, мысленно распространяя его на комплексный случай. Самая последняя из формул появилась уже в процессе написания текста.

(16 Мар '14 22:24) falcao
2

@falcao: второй способ мне очень тяжело понять, я даже на представляю, как до этого можно было догадаться.

(16 Мар '14 22:26) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,255
×3,424
×520

задан
16 Мар '14 21:24

показан
2033 раза

обновлен
16 Мар '14 22:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru